Un granjero que tiene 750 pies de cerca, desea encerrar un lote rectangular y dividirlo
en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo.
Expresar el área total A del lote en términos de la longitud x del lado del lote paralelo
a las cercas interiores. Indicar el dominio de la función.
Respuestas
Respuesta:
a)
Sea b la base de rectángulo y h la altura. Los corrales los haremos con la misma altura y la cuarta parte de la base
Entonces debe cumplirse
2b + 5h = 750
podemos despejar b por ejemplo
b = (750-5h) / 2
El área total será
a = bh = (750-5h)h/2 = 375h -(5/2)h^2
Hemos hecho que el área dependa solo de la altura, es una función de h
a(h) = 375h -(5/2)h^2
b)
Para hallar el máximo derivamos la función área e igualamos a cero
a'(h) = 375 - 5h = 0
5h = 375
h = 75 pies
Luego el área total será máxima cuando la altura sea 75 pies
y la base será
b=(750-5·75)/2 = (750-375)/2 = 375/2 = 187.5 pies
Y el área máxima es
a = bh = 187.5 · 75 = 14062.5 pies
Es imposible hacer una gráfica que se pueda ver con esos datos, sale una gráfica empinadísima y no cabe, por eso he hecho la gráfica del área dividida por 100 que tiene el mismo máximo y puede verse.
Explicación: