Question

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos F(4,2) y F(-2,2) sea igual a 8

Answer 1

Respuesta:

0

Explicación paso a paso:

Buscamos que la suma de las distancias {PF_1} y{PF_2} sea siempre igual a 8, es decir,

 

{PF_1} +{PF_2} = 8

 

Por lo tanto, tenemos que,

 

t{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} + {(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = 8

 

Si despejamos una raíz, se obtiene

 

{(x + 2)^2 + (y - 2)^2}  = 8 - {(x - 4)^2 + (y - 2)^2}

 

Luego, elevando al cuadrado, tenemos que

 

(x+2)^2 + (y-2)^2 = 64 - 16{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2 + (y - 2)^2

 

Observemos que el término (y-2)^{2} se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda

 

(x+2)^2 = 64 - 16 {(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2

 

Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,

 

x^2 + 4x + 4 = 64 - 16{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + x^2 - 8x + 16

 

Luego, reagrupando términos semejantes )-y dividiendo la ecuación por 4—, tenemos

 

3x - 19 = -4 {(x - 4)^2 + (y - 2)^2}

 

Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:

 

9x^2 - 114x + 361 = 16((x - 4)^2 + (y - 2)^2

 

es decir,

 

7x^2 + 16y^2 - 14x - 64y - 41 = 0