Una máquina despachadora de café está regulada para que descargue en promedio 207 mililitros por
vaso. Si la cantidad de líquido está distribuida en forma Normal con una desviación estándar igual a 15
mililitros:
a)¿Qué porcentaje de los vasos contendrá más de 231 mililitros?.
b)¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 198 y 216 mililitros?
c)Si se usan vasos con capacidad de 237 mililitros, ¿Cuántos de 1000 vasos servidos se derramarán?.
d)¿Para que valor de la variable Y se tienen el 25% de los vasos con menor contenido?.
Respuestas
Respuesta:
a) ¿Qué porcentaje de los vasos contendrá más de 231 mililitros?
Cuando no se conoce el tamaño de la muestra sabemos que Z se obtiene de la siguiente forma:
Z=(x-μ)/σ
Evaluado con los datos del problema, tenemos que:
P (x≥231)=P((x-207)/15>(x_1-207)/15)
P (X≥231)=P(Z>(231-207)/15)=P(Z>1.6)
Leyendo el valor de la probabilidad en las tablas de distribución normal con la Z obtenida
P(Z>1.6)= 1-P (Z<1.6)=1-0.9452=0.0548
P (x≥231 [ml])=P(Z>1.6)= 0.0548=5.48%
b)¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 198 y 216 mililitros?
Z=(x-μ)/σ
Evaluado con los datos del problema, tenemos que:
P (198≤x≤216)=P((x_1-207)/15<(x-207)/15<(x_2-207)/15)
P (198≤x≤216)=P((198-207)/15<Z<(216-207)/15)
P (198≤x≤216)=P(-0.6<Z<0.6)=P(Z<0.6)-P (Z<-0.6)
Leyendo el valor de la probabilidad en las tablas de distribución normal con la Z obtenida
P(-0.6<Z<0.6)=0.7257-0.2743=0.4514
P (198 [ml]≤x≤216[ml])= 0.4514=45.14%
c)Si se usan vasos con capacidad de 237 mililitros, ¿Cuántos de 1000 vasos servidos se derramarán?.
Para saber cuántos vasos se derramarán, primero se determina la probabilidad de que se derrame un vaso si se surten 237 ml. Posteriormente, se multiplica esa probabilidad por N=1000 vasos. Así sabremos cuántos se derramarán en promedio, cada mil vasos.
Z=(x-μ)/σ
P (x≥237)=P((x-207)/15>(x_1-207)/15)
P (X≥237)=P(Z>(237-207)/15)=P(Z>2.0)
Leyendo el valor de la probabilidad en las tablas de distribución normal con la Z obtenida
P(Z>2.0)= 1-P (Z<2.0)=1-0.9772=0.0228
P (x≥237 [ml])= 0.0228=2.28%
Como la probabilidad de que un vaso se derrame es de 2.28%, el numero esperado de vasos a derramarse si se sirven mil, es:
E|x=1,000 vasos|=x*P (x≥237 [ml])= 1,000*0.0228=22.8 [vasos]
La media de vasos a derramar si se emplean vasos de 237 ml será 22.8 vasos (23 vasos) cada mil servidos.
d)¿Para qué valor de la variable X se tienen el 25% de los vasos con menor contenido?.
Cuando no se conoce el tamaño de la muestra sabemos que Z se obtiene de la siguiente forma:
Z=(x-μ)/σ
Explicación:
El porcentaje de los vasos que contendrá más de 231 mililitros es de 5,48%. La probabilidad de que un vaso contenga entre 198 y 216 mililitros es: 0,48379. El valor de la variable se tienen el 25% de los vasos con menor contenido es 196,8 mililitros
Explicación:
Probabilidad normal
Datos:
μ = 207 mililitros
σ = 15 mililitros
Z = (x-μ)/σ
a) ¿Qué porcentaje de los vasos contendrá más de 231 mililitros?.
Tipificamos la variable Z:
Z = (231-207)/15 = 1,6 Valor que ubicamos en la Tabla de distribución normal y obtenemos la probabilidad:
P (x≤231) = 0,9452
P (x≥231) = 1-0,9452 = 0,0548
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 198 y 216 mililitros?
Tipificamos la variable Z:
Z = (198-207)/15 = -0,6 Valor que ubicamos en la Tabla de distribución normal y obtenemos la probabilidad:
P (x≤198) = 0,27425
Z = (216-207)/15 = 0,6 Valor que ubicamos en la Tabla de distribución normal y obtenemos la probabilidad:
P (x≤216) =0,75804
P (198≤x≤216) = 0,75804-0,27425 = 0,48379
c) Si se usan vasos con capacidad de 237 mililitros, ¿Cuántos de 1000 vasos servidos se derramarán?.
Z = (237-207)/15 = 2 Valor que ubicamos en la Tabla de distribución normal y obtenemos la probabilidad:
P (x≤237) = 0,97725
1000(1-0,97725) = 23 vasos se derramaran
d) ¿Para que valor de la variable se tienen el 25% de los vasos con menor contenido?.
Z = 0,25
-0,68 = (x-207)/15
-10,2 +207 = x
x= 196,8
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