Question

En el cuadrado ABCD, M, N Y P SON PUNTOS MEDIOS DE ab, bc y da respectivamente ¿en que razón están las áreas de la zona blanca y de la zona sombreada.

GRAFICO (ESTA EN EL ARCHIVO ADJUNTO)

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Answer 1

Pongamos que el lado del cuadrado es igual a 2. No importa la cantidad que pongamos en la medida del lado, la razón sera la misma.

Área cuadrado = 2² = 4.

La zona blanca esta formada por tres triángulos rectángulos, que son:
triángulo MBN, triángulo MAP y triángulo DCN.
Veamos cual es el área de cada uno de estos triángulos rectángulos:
Área MBN = (1×1) / 2 = 1/2 = 0,5.
Área MAP = (1×1) / 2 = 1/2 = 0,5.
Área DCN = (2×1) / 2 = 2/2 = 1.
Entonces el área total de la zona blanca es:
0,5 + 0,5 + 1 = 2 es el área de la zona blanca.

Ahora veamos cual es el área de la zona sombreada.
Como es lógico esta será igual al área del cuadrado menos el área de la zona blanca:
4 - 2 = 2 es el área sombreada.

Por tanto la razón entre la zona blanca y la sombreada es:

$\frac{2}{2}= \ \to \text{ simplificamos} \ \to \ = \frac{2:2}{2:2}= \boxed{ \frac{1}{1} \text{ esta es la raz\'on.}}$


Pensándolo mejor te voy a desarrollar ahora el ejercicio en forma algebraica, quizás sea está la forma en que te lo pidan.
L = lado del cuadrado.
L² = área total del cuadrado.

Áreas triángulos rectángulos zona blanca:

$MBN= \frac{ \frac{L}{2}* \frac{L}{2}}{2}= \frac{ \frac{L^{2}}{4}}{2}= \frac{L^{2}}{8} \\ \\ \to \text{ El tri\'angulo MAP tiene la misma \'area que el tri\'angulo MBN.} \\ \\ DCN= \frac{L* \frac{L}{2}}{2}= \frac{ \frac{L^{2}}{2}}{2}= \frac{L^{2}}{4} \\ \\ \to \text{\'Area total zona blanca:} \\ \\ \frac{L^{2}}{8}+ \frac{L^{2}}{8}+ \frac{L^{2}}{4}= \frac{4L^{2}}{8}= \boxed{ \frac{L^{2}}{2}}$

$\to \text{\'Area total zona sombreada:} \\ \\ L^{2}- \frac{L^{2}}{2}= \frac{2L^{2}}{2}- \frac{L^{2}}{2}= \boxed{ \frac{L^{2}}{2}}$

Por tanto la razón entre la zona blanca y la sombreada es:

$\frac{ \frac{L^{2}}{2}}{ \frac{L^{2}}{2}}= \frac{2L^{2}}{2L^{2}} \ \to \text{L cuadrado arriba y abajo se v\'an.} \to \ = \frac{2}{2}= \boxed{ \frac{1}{1} \text{ la raz\'on.}}$