El bloque mostrado, de 2 kg e inicialmente en reposo, está sometido a la acción de una fuerza F de 20N de magnitud. Si el coeficiente de fricción entre las superficies en contacto es 0.4, determine el valor de θ necesario para que el bloque recorra 2m, en el menor intervalo de tiempo.
*Nota: La respuesta es θ=21.8°*
Respuestas
Para que eso sea posible la aceleración del sistema debe ser máxima.
La fuerza neta sobre el sistema es:
F cosФ - u R = m a
R es la reacción normal del plano sobre el cuerpo.
R + F senФ - m g = 0 (no hay movimiento en el eje vertical)
Luego R = m g - F senФ
Reemplazamos:
F cosФ - u (m g - F senФ) = m a
Dividimos por m: a = F/m cosФ - u (g - F/m senФ)
Tomaremos g = 10 m/s². Reemplazamos valores numéricos. Omito unidades.
a = 20 / 2 cosФ - 0,4 (10 - 20/2 senФ)
a = 10 cosФ + 4 senФ - 4
Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda derivada negativa en los puntos críticos.
a' = - 10 senФ + 4 cosФ
a'' = - 10 cosФ - 4 senФ; como Ф es un ángulo del primer cuadrante, la segunda derivada es negativa.
Por lo tanto hay un máximo en - 10 senФ + 4 cosФ = 0
senФ / cosФ = 4/10 = 0,4
O bien tgФ = 0,4
Finalmente Ф = 21,8°
Observar que la tangente del ángulo crítico es igual al coeficiente de fricción entre las superficies. Expresión a la que llegaríamos sin reemplazar valores numéricos.
Saludos.