Question

hallar la ecuacion de la bisectriz del angulo agudo formado por las rectas x-4y-5=0 y 4x-y-20= 0
porfa solo necesito el valor del angulo el resto lo hago sola

Answer 1

La idea es hallar los vectores unitarios de cada recta

Para x-4y-5=0
Se tiene una pendiente m = 1/4, entonces un vector director v = (1,m) que es paralelo a (4,1)

Hallemos el vector unitario de (4,1)

$\displaystyle \vec v=\frac{1}{\sqrt{4^2+1^2}}(4,1)\iff \vec v=\frac{1}{\sqrt{17}}(4,1)$

Para 4x-y-20= 0
Tenemos una pendiente m = 4, y por ello un vector director (1,m) = (1,4)

Vector unitario paralelo a (1,4)
$\vec u=\frac{1}{\sqrt{17}}(1,4)$

Luego sumamos los vectores unitarios que será el vector director de la bisectriz de estas rectas, fíjate que los vectores (1,4) y (4,1) están en el primer cuadrante, y forman un ángulo agudo

$\displaystyle \vec v+\vec u = \frac{1}{\sqrt{17}}[(4,1)+(1,4)]\\ \\ \vec v+\vec u = \frac{1}{\sqrt{17}}(5,5)$

Entonces solo tomamos el vector (5,5), aunque se pudo sumar (1,4)+(4,1) puesto que tienen el mismo tamaño, en fin (5,5) o (1,1) será nuestro vector director de la bisectriz, o sea m = 1

Ahora solo falta el punto de intersección de las rectas dadas
x-4y-5=0
4x-y-20= 0

que es (5,0)

Por ello la ecuación de la bisectriz es:

                                         $\boxed{y=x-5}$