Question

La suma de un número infinito de términos de una P.G. es 4 y la suma de sus cubos es 192. Determine la progresión

Answer 1

Buenos días:
La suma de los términos de una P.G., conociendo el primer término y la razón es:
Sn=a₁ / (1-r).
Por tanto:
4=a₁/(1-r)  ==========⇒ a₁=4-4r  (1)

Por otro lado, el término general de una P.G. es:
an=a₁.r^(n-1).
Vamos a calcular los primeros términos, y al lado pondremos sus cubos.
a₁=a₁.=====⇒a₁³=a₁³.
a₂=a₁.r ====⇒a₂²=a₁³.r³
a₃=a₁.r²====⇒a₃³=a₁³.r⁶

Por tanto en la nueva progresión geométrica, donde cada término es el cubo de la primera progresión geométrica, el primer término vale.
a₁=a₁³.
Y la razón la podemos calcular, dividiendo 2 términos consecutivos.
r=a₂/a₃=a₁³.r³/a₁³=r³
Por tanto:
Sn=a₁ / (1-r)
192=a₁³ / (1-r³).    (2)

Con las ecuaciones (1) y (2) vamos a tener un sistema de ecuaciones:
 a₁=4-4r
192=a₁³ / (1-r³)
Que lo resolveremos por sustitución:
192=(4-4r)³ / (1-r³).
192-192r³=64-192r+192r²-64r³
128r³+192r²-192r-128=0
Lo simplificamos dividiendo todos los términos por "64".
2r³+3r²-3r-2=0
Resolvemos por Ruffini:
         2        3       -3      -2

1
                  2         5       2
------------------------------------------------
        2         5        2       0
2r³+3r²-3r-2=(r-1).(2r²+5r+2)
Ya sabemos que una de las soluciones es r=1; pero esta solución no nos vale.
ya que [r]<1; Por tanto resolvemos la ecuación de 2º grado.
2r²+5r+2=0
Tenemos 2 soluciones: 
r₁=-2, no nos vale ya que [r]<1.
r₂=-1/2. ====⇒  a1=4-4.(-1/2)=4+2=6.

Sol: an=6.(-1/2)^(n-1)

Un saludo.