Question

En los siguientes triángulos, hallar los lados y ángulos restantes

Answer 1

Respuesta:

a)Cuando tengamos que resolver un triángulo no rectángulo del cual

conozcamos una pareja ángulo-lado opuesto y un dato de algún otro

lado o ángulo, aplicaremos el teorema del seno. Recuerda que es el

que establece la siguiente relación:

a/senA = b/senB = c/senC

Siendo a y A, b y B, c y C las parejas de ángulo y lado opuesto. Utilizamos en este caso los 22º y el

lado de 8 como referencia y calculamos el lado opuesto a los 79º:

8/sen22 = b/sen79

8/0,37 = b/0,98

b = 21,62·0,98

b = 21,22

Para hallar el resto podría parecer que nos falta el dato del tercer ángulo. Pero recuerda que los tres

ángulos de un triángulo siempre suman 180º. Por lo tanto, ese tercer ángulo debe valer

C = 180 – 22 – 79 = 79º

Así que es un triángulo isósceles. No hace falta hacer más cálculos: si tiene dos ángulos iguales,

también tiene dos lados iguales, y el lado que nos falta también mide 21,22.

b)Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado

opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando

el ángulo que está frente al lado que mide 12:

15/sen92 = 12/senB

15/0,99 = 12/senB

senB = 12/15,15

B = 52,37º

El tercer ángulo mide 37,63º (180 menos la suma de los otros dos). Con este dato calculamos el

tercer lado:

15/sen92 = c/sen37,63

15,15 = c/0,61

c = 9,25

c)Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una

pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que

conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el

teorema del coseno:

a ^2= b2 + c2 - 2bc·cosA

Siendo a el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos.

a ^2 = 52 + 62 – 2·5·6·cos70

a ^2 = 61 – 60·0,34

a ^2 = 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

d)De nuevo usamos el terorema del coseno. Se resuelve igual que el

caso anterior.

a  ^2= 252 + 282  – 2·25·28·cos110

a ^2 = 625 + 784 – 1400·(-0,34)

a ^2  = 1885

a = 43,42

Y luego el teorema del seno:

43,42/sen110 = 25/senB

senB = 25/46,21 = 0,54

B = 32,76º

C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º

Explicación paso a paso:

Answer 2

Los lados y ángulos faltantes de los triángulos son:

a) α = δ = 79°

   b = c = 20.96

b) c = 14.58

   β = 47.84°

   δ = 40.18°

c) a = 6.36

  δ = 47.59°

  β = 62.41°

d) a = 43.45

   β = 32.73°

   δ = 37.27°

¿Qué es un triángulo y como se relacionan sus lados y ángulos?

Es una figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza por tener 3 lados y 3 vértices.

La ley de seno es una relación trigonométrica entre los lados opuesto a cada ángulo del triangulo.

$\frac{a}{Sen(\alpha )} =\frac{b}{Sen(\beta )} =\frac{c}{Sen(\delta )}$

La ley del coseno establece que el cuadrado de un lado del triángulo es la suma del cuadrados de los otros dos lados por el doble del producto de los lados, por el coseno del ángulo opuesto.

• a² = b² + c² - 2 · b · c · Cos(α)
• b² = a² + c² - 2 · a · c · Cos(β)
• c² = a² + b² - 2 · a · b · Cos(δ)

La suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°.

a) Ángulos internos:

180° = 22° + 79° + α

Despejar α;

α = 180° - 101°

α = 79°

Es un triángulo isósceles ya que tiene dos lados y ángulos iguálales.

• α = δ = 79°
• b = c

Sustituir;

$\frac{8}{Sen(22)} =\frac{b}{Sen(79)} =\frac{c}{Sen(79)}$

Despejar b;

$b = \frac{8Sen(79)}{Sen(22)}$

b = 20.96

b) Por Ley de coseno:

a² = b² + c² - 2 · b · c · Cos(α)

Siendo;

• a = 15
• b = 12
• α = 92°

Sustituir;

15² = 12² + c² - 2 · 12 · c · Cos(92°)

Despejar c;

c² + 0.837c - 225 = 0

Aplicar la resolvente;

$c_{1,2}=\frac{-0.837\pm\sqrt{(0.837)^{2}-4(-225) } }{2}$

c₁ = 14.58

c₂ = -15.42

b² = a² + c² - 2 · a · c · Cos(β)

Despejar β;

$\beta =Cos^{-1}(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} )$

sustituir;

$\beta =Cos^{-1}(\frac{15^{2}+(14.58)^{2}-12^{2}}{2(15)(14.58)} )$

β = 47.84°

180° = 92° + 47.84° + δ

Despejar δ;

δ = 180° - 139.84°

δ = 40.18°

c) Aplicar Ley del coseno, donde:

• b = 6
• c =  5
• α = 70°

Sustituir;

a² = 6² + 5² - 2 · 6 · 5 · Cos(70°)

a² = 36 + 25 - 60 · Cos(70°)

a = √[61 - 60 · Cos(70°)]

a = 6.36

$\beta =Cos^{-1}(\frac{(6.36)^{2}+5^{2}-6^{2}}{2(6.36)(5)} )$

β = 62.41°

180° = 70° + 62.41° + δ

Despejar δ;

δ = 180° -  132.41°

δ = 47.59°

d)  Aplicar Ley del coseno, donde:

• b = 25
• c =  28
• α = 110°

Sustituir;

a² = 25² + 28² - 2 · 25 · 28 · Cos(110°)

a² = 1409 - 1400 · Cos(110°)

a = √[1409 - 1400 · Cos(110°)]

a = 43.45

$\beta =Cos^{-1}(\frac{(43.45)^{2}+28^{2}-25^{2}}{2(43.45)(28)} )$

β = 32.73°

180° = 110° + 32.73° + δ

Despejar δ;

δ = 180° -  142.73°

δ = 37.27°

Puedes ver más sobre la ley del seno y del coseno aquí:  

https://brainly.lat/tarea/3475114

https://brainly.lat/tarea/4834952