Respuestas
1. Cuenta los vértices, aristas y caras de los cubos I0, I1, I2,e I3. Construye un cuadro que recoja esta información.
2. Trata de obtener una ley que nos diga cual es el número de vértices y de aristas de un cubo In de cualquier número de dimensiones.
3. Observa que un cuadrado está formado por vértices y aristas, pero un cubo tiene también caras (cubos bidimensionales), por lo que es natural suponer que el hipercubo I4 se compone de vértices, aristas, caras y cubos (es decir de cubos I0, I1, I2,e I3), y en general, un cubo In consta de cubos I0, I1, I2, I3 ,....,In-1. Observando el cuadro construido en la pregunta 1, trata de conjeturar de cuantos cubos I0, I1, e I3 consta el hipercubo I4.
4. ¿De cuantos cubos In-1 crees que consta el cubo In?.
5. Trata de idear un mecanismo que permita construir un cubo de un número determinado de dimensiones a partir de uno cubo de una dimensión menos. Teniendo en cuenta ese mecanismo, trata de explicar
a) El número de vértices de un cuadrado, a partir de los de un segmento
b) El número de vértices de un cubo a partir de los de un cuadrado
c) El número de vértices del hipercubo I4 a partir de los del cubo I3.
6. Trata de explicar el número de aristas que tiene un cuadrado viendo como se obtiene el cuadrado a partir de un segmento, y el número de aristas de un cubo a partir de las de un cuadrado. ¿Cuántas aristas tendrá el hipercubo I4?
7. Trata de explicar el número de caras de un cubo viendo como se obtiene el cubo a partir del cuadrado. ¿Cuántas caras debe tener el hipercubo I4?
8. Intenta explicar de cuantos cubos I3 consta un hipercubo I4.
9. Trata de explicar el número In(m) de cubos de m dimensiones que componen el cubo In de n dimensiones suponiendo que conocemos cuantos cubos In-1(0), In-1(1),..., In-1(n-1) componen el cubo In-1 de una dimensión menos.
10. A partir de la ley hallada, completa el cuadro construido en el problema 1, encontrando los cubos de cada dimensión que componen los hipercubos I4, I5 e I6.
11. Observa el número de vértices, aristas, caras y cubos que inciden en cada vértice de un cubo.
12. Haz el ejercicio análogo al anterior con un vértice de un cuadrado y de un segmento. Construye un cuadro que recoja toda esta información. ¿Qué triángulo numérico famoso te recuerda este cuadro?.
13. Recordando el mecanismo que sirve para construir un cubo a partir de un cuadrado, trata de explicar el número de aristas y de cuadrados que inciden en cada vértice de un cubo.
14. Trata de encontrar una fórmula que sirva para saber cuantos cubos de cada dimensión inciden en un vértice de In a partir de los que inciden en un vértice de In-1.
15. Completa, a partir de la ley obtenida en la anterior pregunta, el cuadro obtenido en las preguntas 11 y 12, averiguando los cubos de cada dimensión que inciden en cada vértice de los cubos I4, I5, I6.
16. Calcula el número In0(m) de cubos de m dimensiones que inciden en cada vértice de un cubo de n dimensiones. ¿Cómo se llama en combinatoria ese número?.
17. Usando que los vértices de un cubo son indistinguibles, encuentra el número total de aristas del cubo sabiendo las que inciden en cada vértice, y el número de vértices. Calcula el número de caras del cubo, a partir del número de ellas que inciden en un vértice.
18. Encuentra una fórmula que relaciona el número In(m) de cubos de m dimensiones que componen In con el núemro In0(m) de cubos de m dimensiones que inciden en un vértice del cubo In y el número In(0) de vértices de In.
19. Trata de colocar en un tablero de ajedrez dieciséis caballos de forma que cada uno ataque exactamente a otros cuatro.
20. Une cada caballo en el problema anterior con todos los atacados, y comprueba que el diagrama obtenido sirve para representar el hipercubo I4.
hace 5 años Notificar un abuso