Question

En una granja se introdujo una cierta cantidad de ovejas. Al principio el rebaño empezó a crecer rápidamente, pero después de un tiempo, los recursos en la granja empezaron a escasear y la población decreció.Si el número de ovejas C a lo largo de los años t está modelado por la función cuadrática C(t) = –t^2+ 20t + 125:
a) ¿Cuantas ovejas se introdujeron en la granja?
b) ¿Luego de cuántos años el número de ovejas fue de 224?
c) ¿Cuántas ovejas hubo al cabo de 5 años?
d) ¿Después de cuántos años la población fue la máxima? ¿Cual fue el número máximo de ovejas?
e) ¿Después de cuantos años se extingue la población?

Answer 1

Buenos días.
t= tiempo en años.
C(t)=nº de ovejas en función del nº de años.
C(t)=-t²+20t+125
a)
Tenemos que calcular el nº de ovejas para t=0
C(0)=-(0)²+20.0+125=125

Sol: 125 ovejas.
b)
C(t)=224.
-t²+20t+125=224
t²-20t-99=0.
Resolvemos la ecuación de 2º grado.
Obtenemos dos resultados.
t₁=9
t₂=11.
Sol: a los 9 años y a los 11 años había 224 ovejas.
c)
t=5.
C(5)=-5²+20.5+125=200.
sol: 200 ovejas. 
d)
Hallamos la 1ª derivada.
C(t)`=-2t+20.
La igualamos a "0" y obtenemos valores de t.
-2t+20=0
t=10. 
Hallamos la 2ª derivada para comprobar si es un máximo o un mínimo.
C(t)``=-2<0, entonces en t=10 existe un máximo.
Sustituimos "t" por "10" en la función (C(t)=-t²+20t+125) para calcular el nº de ovejas.
C(10)=-10²+20.10+125=225.
Sol: a los 10 años la población fue máxima, y el nº máximo de ovejas fue 225.
d)
Igualamos C(t) a "0" y obtenemos valores de t.
-t²+20t+125=0
Resolvemos la ecuación de 2º grado y obtenemos 2 valores de t.
t₁=-5 (descartamos esta solución, al ser un nº negativo y no tener sentido en el contexto del problema).
t₂=25.

sol: 25 años. 

Un saludo.