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Respuesta:
1) a) O bien denominador y numerador son ambos positivos o bien son ambos negativos.
El primer caso requiere x < 1 y (x + 2)(x − 3) < 0. Esto ultimo ´ ocurre s´olo si x ∈ (−2, 3), por
tanto x ∈ (−2, 1). El segundo caso requiere de la misma forma x > 1 y (x + 2)(x − 3) > 0 que
se dan simult´aneamente para x > 3.
Por consiguiente la soluci´on es (−2, 1) ∪ (3,∞).
b) Si x ≥ −1 entonces la ecuaci´on es (x + 1) + (x + 3) < 5 que equivale a x < 1/2. Si
−3 ≤ x ≤ −1 entonces la ecuaci´on es −(x+1)+(x+3) < 5 que se cumple siempre. Finalmente,
si x ≤ −3 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) − (x + 3) < 5 que equivale a x > −9/2.
Combinando estos tres casos se obtiene la soluci´on (−9/2, −3] ∪ [−3, −1] ∪ [−1, 1/2), es
decir, (−9/2, 1/2).
2) a) Falso por ejemplo para x = 1, y = 2.
b) √xy ≤
x + y
2
⇔ 2
√xy ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ x
2 + 2xy + y
2 ⇔ 0 ≤ x
2 − 2xy + y
2 y esto
se cumple siempre porque el segundo miembro es (x − y)
2
.
3) Claramente se cumple para n = 1 porque 1
2 = 1(1 + 1)(2 + 1)/6. Ahora partiendo de
la identidad del enunciado tenemos que llegar a la misma cambiando n por n + 1. Con este
fin sumamos (n + 1)2
en ambos miembros. El primer miembro es lo que esperamos y podemos
manipular el segundo de la siguiente forma:
n(n + 1)(2n + 1)
6
+ (n + 1)2 =
n + 1
6
n(2n + 1) + 6(n + 1)
=
n + 1
6
2n
2 + 7n + 6
.
Factorizando, 2n
2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) y se obtiene entonces que la expresi´on anterior
es (n + 1)
(n + 1) + 1
2(n + 1) + 1
/6, como deseamos.
4) a) x
4 < 9 ⇔ x
2 < 3 ⇔ |x| <
√
3 que representa el intervalo (−
√
3,
√
3), por tanto
´ınf = −
√
3 y sup =
√
3.
b) x
5 < 9 ⇔ x <
√5
9 por tanto no est´a acotado inferiormente y sup =
√5
9.
c) Los elementos negativos son de la forma −1 −
1
n
con n impar. Claramente su ´ınfimo
es el que corresponde a n = 1, es decir, ´ınf = −2. El resto de los elementos son de la forma
1−
1
n
con n par. El supremo es 1 porque van acerc´andose indefinidamente a este valor sin llegar
a super
Explicación paso a paso: