Question

PIX 4
Un barco envía señales hacia
dos torres ubicadas sobre la
costa a 10 km una de la otra,
si al recibir la señal se calcula
que la ubicación del barco a
una de las torres es 6 km más
lejana que la distancia a la
otra torre. Determina la
posible posición del barco si
este navega a
4 km de
distancia de la costa.
(+2,4)
(14,4)
(+4 7,4)
(£3 2,4)
​

Answer 1

El barco está en la posición (0,75;4) si se toma como origen de coordenadas la torre más cercana al barco.

Explicación paso a paso:

Si las torres están 10km una de la otra y el barco está a 4km de la costa, se puede trazar un triángulo imaginario cuyos vértices son el barco y las dos torres.

Ese triángulo tiene como base la linea de costa y como altura los 4km de distancia entre el barco y la costa, lo partimos en 2 triángulos rectángulos. Nos queda que la hipotenusa de uno es 6km más larga que la del otro. En la figura que queda tenemos:

$l_1+l_2=10km\\d_2=d_1+6km\\\\d_1^2=l_1^2+(4km)^2\\\\d_2^2=l_2^2+(4km)^2$

Las dos últimas ecuaciones las restamos miembro a miembro:

$d_1^2-d_2^2=l_1^2-l_2^2$

Aplicamos la propiedad de diferencia de cuadrados:

$(d_1+d_2)(d_1-d_2)=(l_1+l_2)(l_1-l_2)$

Reemplazamos las dos primeras ecuaciones ahí:

$(d_1+d_2)(-6km)=(l_1-l_2).10km$

Si ponemos todo en función de d1 en el primer miembro y de l1 en el segundo queda:

$(d_1+d_1+6km)(-6km)=(l_1-(10-l_1)).10km\\\\(2d_1+6km)(-6km)=(2l_1-10).10km\\\\-12d_1-36=20l_1-100\\\\d_1=\frac{20l_1-64}{-12}=\frac{16-5l_1}{3}$

Luego planteamos la relación pitagórica en d1:

$(\frac{16-5l_1}{3})^2=l_1^2+(4km)^2\\\\(16-5l_1)^2=9(l_1^2+16)\\\\256-160l_1+25l_1^2=9l_1^2+144\\\\112-160l_1+16l_1^2=0\\\\l_1=\frac{160\ñ\sqrt{160^2-4.112.16}}{2.16}=\\\\l_1=0,75km\\\\l_1=9,25km$

l1 puede tomar cualquiera de los dos valores en tanto que l2 tomará el otro valor, si es l1=0,75km, l2 será 9,25km y viceversa. Tomando como origen la torre más cercana, el barco estaría en (0,75;4)