Question

Grabriel vive en el cuarto piso de un edifico y desde una altura de 24 m deja caer una pelota y observa que en cada rebote se eleva hasta los 3/4 de altura desde la cual cae se desea saber ¿Cual es el recorrido total de la pelota hasta que se detiene?

Answer 1

Tema: Suma límite de una progresión geométrica

⇒La longitud recorrida hasta detenerse es 168m

Explicación paso a paso:

De acuerdo al problema sabemos que la altura inicial es 24m la cual representaremos como:

$h_o=24m$

Sabemos que en cada rebote pierde 1/4 de su altura ($1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$). Por lo tanto la altura después del primer rebote es:

$h_1=24*\frac{3}{4}$

y después del segundo:

$h_2=24*\frac{3}{4} * \frac{3}{4}$

y del tercero:

$h_3=24*\frac{3}{4} * \frac{3}{4}* \frac{3}{4}$

y así sucesivamente. Te adjunto una imagen para que quede más claro. Como se observa la en la imagen, a partir del primer rebote tiene dos flechas, una hacia arriba y otra hacia abajo, puesto que esas distancias las recorre en ambas direcciones.

Podríamos expresar lo que conocemos hasta ahora como que la distancia total es:

$T=h_0+2h_1+2h_2+2h_3....\\T=h_0+2[h_1+h_2+h_3....]$

sustituyendo:

$T=24+2*24[\frac{3}{4} +(\frac{3}{4}*\frac{3}{4})+(\frac{3}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4})...]\\T=24+48*\frac{3}{4}[1+\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})*(\frac{3}{4})...]$    Ec.1

Donde la operación que nos interesa es la que se encuentra dentro de los corchetes, la cual es una progresión geométrica decreciente que resolveremos con la formula de suma límite para una progresión geométrica, la cual es:

$S=\frac{a}{1-r}$

S= valor de la suma

a= primer término de la sucesión (1)

r= razón geométrica (3/4)

Resolviendo:

$S=\frac{1}{1-\frac{3}{4} }\\\\S=\frac{1}{(\frac{1}{4}) }\\S=4$

Y esto será el valor del corchete, así que al sustituir en Ec.1:

$T=24+48*\frac{3}{4}[4]\\T=24+48*3\\T=168m$

Solución alterna

La segunda solución es aplicar directamente la formula:

$T=h_o(\frac{1+r}{1-r})$

que es igual a :

$T=h_o (\frac{1+\frac{3}{4} }{1-\frac{3}{4}}) \\\\T=24 (\frac{\frac{7}{4} }{\frac{1}{4}}) \\T=168m$