Hola, estaba buscando haber si alguien me puede contestar todas estas preguntas, para mi tarea, (con procedimiento y respuesta porfavor) me harian un favorsote y se los agradeceria mucho(donde esta la letra N es 6) osea N igual a 6
Respuestas
Respuesta:
5. n(n+1) 1. Estudiar el car ́acter de la serie an de t ́ermino general an = n2 + 2n .
Soluci ́on
Como l ́ım n(n + 1) = 1 ̸= 0, la serie es divergente. n2 + 2n
2. Sabiendo que la suma de los n primeros t ́erminos de una serie es Sn = 5n2 −3n+2,
n2 − 1 hallar el t ́ermino general y estudiar su naturaleza.
Soluci ́on
Aplicamos la fo ́rmula an = Sn − Sn−1 y obtenemos:
5n2 −3n+2 5(n−1)2 −3(n−1)+2 3n2 −17n+10 an= − = .
n2 −1 (n−1)2 −1 n4 −2n3 −n2 +2n Como adem ́as l ́ım Sn = l ́ım 5n2 − 3n + 2 = 5, la serie es convergente.
n2 − 1
Observaci ́on: No confundir con la condici ́on necesaria de convergencia en la que debe ser cero el l ́ımite del t ́ermino general de la serie an, no del t ́ermino general de la sucesi ́on de sumas parciales Sn. En este caso, como l ́ım Sn = 5, quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5.
3. Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie an de t ́ermino general nk
an = (n + 1)(n + 2)(n + 3) sea convergente.
Explicación paso a paso:
Aplicando el criterio logar ́ıtmico,
log (n+1)(n+2)(n+3) k
l ́ımlog(1/an) = l ́ım nk =l ́ımlog(n+1)(n+2)(n+3)−logn logn logn logn
= = = =
l ́ımlog(n3 +6n2 +11n+6)−klogn log n
l ́ım log(n3)(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3) − k log n log n
l ́ım3logn+log(1+6/n+11/n2 +6/n3)−klogn log n
log(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3)
l ́ım 3−k+ logn =3−k.
Para que sea convergente,
la serie convergente es k = 1.
debe ser 3 − k > 1, y como k debe ser entero, el mayor valor que hace
4. Estudiar el car ́acter de la serie an de t ́ermino general
11
an = √
√−√==. n−1 n+1 n−1 n−1
− √ . n−1 n+1
Soluci ́on
Tenemos que
√√ 11n+1−n+12
Por el criterio de comparacio ́n, como l ́ım 2/(n − 1) = 2 y la serie 1/n es divergente, la serie 1/n
dada es divergente.
5. Estudiar el car ́acter de la serie an de t ́ermino general
n an=√3 .
2n +1 Aplicamos el criterio de Prinsgheim, y tenemos:
αn nα+1 l ́ımn √ =l ́ım√ .
2n3 + 1 2n3 + 1
Para que dicho l ́ımite sea real debe ser el grado del numerador igual al grado del denominador.
En este caso α + 1 = 3/2 =⇒ α = 1/2. Como α < 1, la serie es divergente. 6. Estudiar el car ́acter de la serie an de t ́ermino general
Soluci ́on
n an= n4+1.
Soluci ́on
Aplicando el criterio de Pringsheim, tenemos:
α n
l ́ımn n4+1=l ́ım√ 4 .
n+1
nα+1/2