Question

1=1 Completa las sumas que faltan,describe este patrón
3+5=8 y escribe los dos siguientes renglones.
7+9+11=
13+15+17+19=
...
...

Answer 1

fíjate que sumandos son números impares
1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
...

Ahora centrémonos en la primera sucesión
1, 3, 7, 13,... 
es una sucesión de segundo grado, es decir
1, 3, 7, 13,... 
+2,+4,+6
    +2 +2

por ello su regla de correspondencia es un polinomio de segundo grado
$t(n)=an^2+bn+c\\ \\ a+b+c=1\\ 4a+2b+c=3\\ 9a+3b+c=7\\ \\ t(n)=n^2-n+1$

cada sumando

$\displaystyle S_n=(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+(n^2-n+5)\cdots[n^2-n+(2n+1)]\\ \\ S_n=n(n^2-n)+[1+3+5+\cdots (2n+1)]\\ \\ S_n=n^3-n^2+n^2\\ \\ \boxed{S_n=n^3}$

Y como ya se veía
$1 = 1=1^3\\ 3 + 5 = 8=2^3\\ 7 + 9 + 11 = 27=3^3\\ 13 + 15 + 17 + 19 = 64=4^3$

El patrón de las sumas lo conforman números naturales con exponente 3