Question

a. El área comprendida por la curva f(x)= √x y la recta y=b x es igual a 1. Calcula el valor de b.
b. Determine el área encerrada por las funciones f(x) y g(x)= ∛x , en el intervalo determinado por los puntos de intersección de las dos funciones.

Answer 1

A. Hallemos la abscisa del punto de intersección de estas curvas. Es obvio que una de ellas es x=0, ahora busquemos la otra

            $\sqrt{x}=bx\\ \\ x=b^2x^2\\ \boxed{x=1/b^2}$

Luego como dato tenemos el área igual a 1, esto es

$\displaystyle \int_{0}^{1/b^2}{\sqrt{x}-bx}\,dx=1\\ \\ \left.\left(\frac{2}{3}\sqrt{x}^3-\frac{b}{2}x^2\right)\right|_{0}^{1/b^2}=1\\ \\ \frac{2}{3}\sqrt{1/b^2}^3-\frac{b}{2}\frac{1}{b^4}=1\\ \\ 4\frac{1}{|b|^3}-3\frac{1}{b^3}=6\\ \\ \text{si }b\ \textless \ 0\text{ entonces: }\\ \\ -4\frac{1}{b^3}-3\frac{1}{b^3}=6\\ \\ -7\frac{1}{b^3}=6\\ \\ \boxed{b=-\sqrt[3]{\frac{7}{6}}} \text{si }b\ \textgreater \ 0\text{ entonces: }\\ \\ 4\frac{1}{b^3}-3\frac{1}{b^3}=6\\ \\ \frac{1}{b^3}=6\\ \\ \boxed{b=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}}$

B) 
$\displaystyle \int_{0}^1\sqrt[3]x-\sqrt{x}\,dx=\left.\left(\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\right|_{0}^1\\ \\ \int_{0}^1\sqrt[3]x-\sqrt{x}\,dx=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\\ \\\\ \boxed{\int_{0}^1\sqrt[3]x-\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{12}}$