Question

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles
mide 18, determine la longitud de uno de sus catetos. con procedimiento

Answer 1

Los dos catetos a y b son iguales y cada uno mide 9√2 unidades

Procedimiento:

Este problema trata sobre la resolución de los lados de un triángulo rectángulo, que es isósceles, y que resulta ser lo que se llama un triángulo notable.

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad. (Como se verá al resolver el ejercicio).

¿Qué debemos tener en cuenta en los triángulos notables?

Debemos recordar siempre que la suma de los lados de un triángulo es igual a 180°. Como se trata de un triángulo rectángulo hay un ángulo de 90°. Los otros 90° se reparten entre los dos ángulos agudos.

También que el cateto de mayor dimensión es aquel que se opone al ángulo de 90°, mientras que el cateto de menor dimensión se opone al ángulo agudo de menor dimensión.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 45°-45° (por sus ángulos) o 1 - 1 (por sus lados).

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual lo que es decir 1 k, mientras que la hipotenusa medirá √2 k.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio

Solución:

Sabemos que en el triángulo rectángulo propuesto la hipotenusa mide 18 unidades.

Primero hallamos el valor de la constante k

Si la hipotenusa (c) tiene un valor de 18

Planteamos

$\boxed {\bold {k\sqrt{2} = 18}}$

$\boxed {\bold {k= \frac{18}{\sqrt{2} } }}$

$\boxed {\bold {k ={9}{ \sqrt{2} } }}$

Hallando el valor del cateto a

$\boxed {\bold {a = k\ . \ 1 }}$

$\boxed {\bold {a = 9\sqrt{2} \ . \ 1 }}$

$\boxed {\bold {a = 9\sqrt{2} }}$

Como el cateto a es igual al cateto b

$\boxed {\bold {a = b = 9\sqrt{2} }}$

Expresado en número decimal

$\boxed {\bold {a = b = 12,728}}$