Question

Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35° y 20°. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?

Answer 1

Los edificios A y B tienen una altura de aproximadamente 35,92 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este problema vamos a configurar dos imaginarios triángulos rectángulos.  

 

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC = edificio A

El cual está conformado por el lado BC (b) que equivale a la altura del edificio A, el lado AB (a) que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta el edificio A - donde no conocemos esa distancia -a la cual llamaremos variable x- , y el lado AC (c) es la proyección visual hacia el punto más alto del edificio A bajo un ángulo de 35°.  

El segundo imaginario triángulo rectángulo BCD = edificio B

El cual está conformado por el lado BC (b) que equivale a la altura del edificio B, el lado BD (a1) que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta el edificio B - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción de ella, y el lado CD (c1) es la proyección visual hacia el punto más alto del edificio B bajo un ángulo de 20°.  

• Cómo sabemos que el edificio A y el B miden lo mismo, la altura del edificio A será igual a la del edificio B.

• Considerando esto resolveremos este ejercicio como si se tratara de hallar la altura de un solo edificio, o lo que es lo mismo el lado BC (b) de ambos imaginarios triángulos rectángulos representa la altura del edificio A y del edificio B, las cuales son equivalentes.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia entre los dos edificios Y sabemos en forma parcial la distancia a los dos edificios y de dos ángulos de elevación hasta los puntos más altos de los dos edificios desde un punto del suelo que está entre ambos, uno de ellos de 35° y el otro de 20° dependiendo de la observación desde la línea horizontal hacia sus puntos más altos en ambos casos. (Recordemos que el edificio A = edificio B)

• Distancia entre edificios = 150 m

• Distancia del observador a los edificios  = x y 150 m

• Ángulo de elevación = 35°

• Ángulo de elevación = 20°  

• Debemos hallar la altura de los dos edificios = lado BC= y = altura edificio A = altura edificio B

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas,  a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea horizontal hasta el edificio, que equivale al lado AB del primer triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita "y" será la altura de los edificios - o de uno de ellos, ya que ambos miden lo mismo- que es igual a la medida del lado BC de ambos triángulos rectángulos.  

Si 35° y 20 son uno de los ángulos agudos da cada uno de los dos triángulos rectángulos,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado BD sel segundo triángulo), los dos ángulos de elevación dependiendo de la observación desde la línea horizontal desde un punto del suelo, y nos piden hallar la altura de los edificios A y B, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente.

Como conocemos parcialmente el lado BD, y desconocemos el lado AB = incógnita x

Dónde el lado BC equivale a la altura de los edificios  = altura edificio A = altura edificio B = incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones,

$\boxed { \bold {tan(35)\° = \ \ \ \ \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = x\ .\ tan(35)\° }}$

$\boxed { \bold {tan(20)\° = \frac{y}{150 -x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = (150-x)\ .\ tan(20)\° }}$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x,

$\boxed {\bold {x \ .\ tan(35)\° = (150 -x) \ . \tan(20)\°}}$

$\boxed {\bold { x \ .\ tan(35)\° = 150 \ .\ tan(20)\° -x\ .\ tan(20)\° }}$

$\boxed {\bold { x \ .\ tan(35)\° +x\ .\ tan(20)\° = 150 \ .\ tan(20)\° }}$

$\boxed {\bold { x \ .\ ( tan(35)\° +.\ tan(20)\°) = 150 \ .\ tan(20)\° }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 150 \ .\ tan(20)\° }{ ( tan(35)\° +.\ tan(20)\°) } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 150 \ .\ 0,363970 }{ 0,7002075 +0,363970 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{54,5955 }{ 1,0641775 } }}$

$\boxed {\bold { x \approx 51,30 \ metros }}$

La medida del lado AB es de ≅ 51,30 metros

Hallando la altura de los edificios A y B

Si

$\boxed { \bold { y = x\ .\ tan(35)\° }}$

y

$\boxed {\bold { x = \frac{ 150 \ .\ tan(20)\° }{ ( tan(35)\° +.\ tan(20)\°) } }}$

Reemplazando,

$\boxed {\bold { y = \frac{ 150 \ .\ tan(20)\°\ .\ tan(35)\° }{ ( tan(35)\° +.\ tan(20)\°) } }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{ 150 \ .\ 0,363970\ .\ 0,7002075 }{ 0,7002075 +\ 0,363970 } }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{ 38,22817856625 }{1,0641775 } }}$

$\boxed {\bold { y \approx 35,92\ metros }}$

La altura de los edificios es de ≅ 35,92 metros