Question

¿Cuánto miden las diagonales del cuadrado?
¿Qué tipo de triángulos se forman del centro del hexágono a sus vértices?
¿Qué relación hay entre el radio del círculo y los lados del hexágono?
¿Cómo aplicarías el teorema de Pitágoras para encontrar la medida de los lados del cuadrado y de la apotema del hexágono?

Answer 1

La diagonal de un cuadrado siendo l el lado mide $l.\sqrt{2}$,

Entre el centro y los vértices del hexágono se forman triángulos equiláteros.

La relación entre el lado del hexágono y el radio del círculo es 1.

Y la apotema del hexágono es $\frac{\sqrt{3}}{2}l$

Explicación paso a paso:

Las diagonales de un cuadrado se pueden aplicar utilizando el teorema de Pitágoras sabiendo que la diagonal forma con dos de los lados un triángulo rectángulo isósceles:

$d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}.\sqrt{l^2}=l.\sqrt{2}$

Y en cuanto al hexágono si trazamos los segmentos del centro a cada vértice se forman triágulos equiláteros, ya que el ángulo del centro para cada uno es 60°. y el segmento del centro al vértice tiene siempre la misma medida, con lo cual según el teorema del seno los otros dos ángulos de cada triángulo deben ser iguales y ambos serán de 60° ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

De acuerdo a lo anterior, si el radio del círculo es igual a la distancia entre el centro y los vértices y el hexágono se divide en triángulos equiláteros, el radio del círculo es igual al lado del hexágono. Por ende la relación planteada es 1.

La apotema es la distancia entre el centro y el punto medio del lado, y con el lado forma siempre un ángulo recto, queda formado un triángulo rectángulo entre la apotema 'a', el radio del centro al vértice 'r' y la mitad del lado 'l'. El teorema de Pitágoras queda:

$a=\sqrt{r^2-(\frac{l}{2})^2}$

Como el radio es igual a la longitud del lado queda:

$a=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{4}}\\\\a=\frac{\sqrt{3}}{2}l$