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Explicación paso a paso:
1. Como (π + e) > 5 y (π + e) < 6, se descarta que la suma (π + e) sea un número entero. Es decir, (π + e) ∉ Z.
2. Ahora, supongamos que (π + e) es racional con periodo.
Sea (π + e) = 5, d1d2 ..dL d1d2..dL d1d2..dL ..., donde d1d2..dL es el periodo de L dígitos. di puede ser cualquier dígito.
3. Se define el conjunto infinito R1. Los elementos de R1 son los racionales que resultan al agregar al entero 2, uno a uno, los dígitos decimales sucesivos del irracional e = 2, 718281828459045...
Es decir, R1 = {E1, E2, E3, ...}, donde E1= 2,7 ; E2=2,71 ; E3= 2,718; etc.
4. Se define además, el conjunto infinito I de números irracionales. Los elementos de I son los irracionales que resultan al sumar π con cada elemento de R1.
Es decir, I = {I1, I2, I3, ...}, donde I1 = π + E1, I2 = π + E2 , I3 = π + E4 , etc.
5. el conjunto I contiene al elemento Ik = π + Ek tal que la diferencia
(π + e) - (π + Ek) es:
(π + e) - (π + Ek) = 0, 00000..00N1N2N3... (hay k ceros después de la coma e inmediatamente antes del dígito no nulo N1).
Entonces, (π + e) - (π + Ek) = N1, N2N3... X 10^[-(k+1)].
6. Por esto, las k primeras cifras decimales de (π + e) son iguales a las k primeras cifras decimales del irracional (π + Ek).
7. Sea k = m.L, donde m y L son enteros positivos y m >1. Como las k primeras cifras decimales de (π + e) son iguales a las k primeras cifras decimales del irracional (π + Ek), por definición de número irracional, dado cualquier L siempre será posible encontrar un m tal que en esas k primeras cifras decimales de (π + e) no hay un dígito o grupo de dígitos d1d2..dL que se repita sucesivamente m veces.
8. Es decir, (π + e) ≠ 5 + ∑(d1d2..dL) X 10^(-m.L), desde m=1 hasta infinito.
9. Por tanto, (π + e) ≠ 5, d1d2 ..dL d1d2..dL d1d2..dL ..., donde d1d2..dL es el periodo de L dígitos.
10. Según la suposición hecha en la expresión 2, hemos llegado a una contradicción. Por esto, esa suposición es falsa. Y entonces el resultado de la suma (π + e) no tiene un desarrollo decimal periódico.
11. Supongamos ahora que (π + e) es un racional con desarrollo decimal finito.
Sea (π + e) = 5, D1D2..DL, donde D1D2..DL es el desarrollo decimal de L cifras decimales.
Al multiplicar en ambos lados por 10^L, resulta:
10^L (π + e) = 5D1D2..DL. Entonces:
10^L = (5D1D2..DL)/(π + e). .................. (1)
Para que la expresión (1) se verifique, el número de cifras del numerador debe ser igual al número de cifras del denominador.
Podemos escoger el elemento Im del conjunto I tal que m = 2L, con lo cual las 2L primeras cifras decimales de (π + e) son iguales a las 2L primeras cifras decimales del irracional (π +Em). Y así, para cualquier L escogido, (π + e) siempre tendrá mas de L cifras decimales.
Por tanto, la expresión (1) es absurda. Y la suposición según la cual la suma (π + e) tiene un desarrollo decimal finito es falsa.
12. Finalmente, como no es un entero y como no tiene desarrollo decimal periódico ni desarrollo decimal finito, el resultado de la suma (π + e) es un irracional.