Question

f(x y z)=x^2+xy+2y^2+z^2 sujeta a x-3y-4z= 16 puntos maximos o minimos

Answer 1

Tenemos la función

                                  $f(x,y,z)=x^2+xy+2y^2+z^2$

cuyo enlace o función subsidiaria es

                                $g(x,y,z)=x-3y-4z-16=0$

Solución (Multiplicadores de Lagrange)

1. Función de Lagrange

                     $L(x,y,z,\lambda) = x^2+xy+2y^2+z^2+\lambda(x-3y-4z-16)$

2. Primeras derivadas parciales de la función de Lagrange, para hallar λ

                              $L_x=2x+y+\lambda=0\\L_y=x+4y-3\lambda\lamda=0\\L_z=2z-4\lambda=0\\L_\lambda=x-3y-4z- 16=0\\ \\\\\left(\begin{matrix}2&1&0&1\\1&4&0&-3\\0&0&2&-4\\1&-3&-4&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\lambda\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\16\end{matrix}\right)$

cuya solución es

                                   $(x,y,z,\lambda)=(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$

3. Segundas derivadas parciales de la función de Lagrange

                           $\begin{matrix}L_{xx}=2&L_{yx}=1&L_{zx}=0&L_{\lambda x}=1&\\L_{xy}=1&L_{yy}=4&L_{zy}=0&L_{\lambda y}=-3\\L_{xz}=0&L_{yz}=0&L_{zz}=2&L_{\lambda z}=-4&\\L_{x\lambda}=1&L_{y\lambda}=-3&L_{z\lambda}=4&L_{\lambda\lambda}=0\end{matrix}$

Escribamos los datos en una matriz

                                            $M=\left(\begin{matrix}2&1&0&1\\1&4&0&-3\\0&0&2&-4\\1&-3&-4&0\end{matrix}\right)$

Hallemos los determinantes

                                              $\det{M_{1,1}}=2\\\det{M_{2,2}}=7\\\det{M_{3,3}}=14$

Como todas las determinantes son positivas, entonces el punto

                                      $(x,y,z)=\left(\dfrac{4}{3},-\dfrac{4}{3},-\dfrac{8}{3}\right)$

es un mínimo.