Question

Se desea construir un cono con una generatriz de 10 cm ¿cuál es el mayor volumen posible para dicho cono?

Answer 1

El volumen de un cono es un tercio de la superficie de la base por la altura.

V = 1/3 π r² h

V depende de dos variables, el radio y la altura. Podemos expresarlo en función de una sola variable, la altura por ejemplo

Se cumple que 10² = r² + h²; r² = 100 - h²

O sea V = 1/3 π (100 - h²) . h

V = 1/3 π (100 h - h³)

Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa en los puntos críticos.

V' = 1/3 π (100 - 3 h²)

V'' = 1/3 π (- 6 h); negativa; hay máximo en V' = 0

Para esto debe ser 100 - 3 h² = 0,

h = √(100/3) ≅ 5,77 cm

r = √(100 - 100/3) ≅ 8,16

El volumen máximo es:

V = 1/3 π . 8,16² . 5,77 ≅ 402 cm³

Adjunto gráfico de la función volumen en función de la altura, con su punto crítico.

Saludos.