Question

ayudenme con esta derivada hallar dos numeros cuya suma sea de 120 de forma del producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea maximo

Answer 1

$f(x)=(120-x)x^2\\ \\ f'(x)=240x-3x^2\\ \\ \text{Buscando puntos cr\'iticos: } x(240-3x)=0\to x\in\{0,80\}\\ \\ f''(x)=240-6x\\ \\ f''(0)\ \textgreater \ 0\to \text{m\'aximo local o relativo}\\ f''(80)\ \textless \ 0\to\text{m\'inimo loca}$

pero f(x) es un polinomio impar, y por ello no está acotado ni superiormente ni inferiormente, es decir que no tiene extremos absolutos

Respuesta: no hay máximo absoluto

Answer 2

Los valores de los números que deseamos encontrar son 80 y 40

Sean a y b los dos números, entonces tenemos que el la suma de ellos es 120, y por lo tanto

a + b = 120

1. a = 120 - b (a y b deben ser diferentes de cero para que el producto sea 120)

Luego el producto de uno de ellos (digamos "a") por el cuadrado del otro es:

a*b² = (120 - b)b² = 120b² - b³

Como queremos que esto sea máximo, entonces derivamos e igualamos a cero

240b - 3b² = 0

b*(240 - 3b) = 0

b = 0 ó 240 - 3b = 0

Si 240 - 3b = 0 ⇒ 3b = 240 ⇒ b = 240/3 ⇒ b = 80

Calculamos la segunda derivada:

240 - 6b

Evaluamos los puntos críticos

b = 0: 240 - 6*0 = 240 mayor que cero, entonces b = 0 es un mínimo

b = 90: 240 - 6*80 = -240 menor a cero, entonces b = 80 es un máximo

Si b = 80, entonces a = 120 - 80 = 40

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