Question

Por qué tg "Â" es igual a " sen â sobre cos â" ?

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Esa identidad trigonométrica es demostrable usando las razones trigonométricas que se forman en un triangulo rectángulo

En el triangulo rectángulo (adjunto en la imagen) tenemos los lados a (es la hipotenusa), b (cateto opuesto) y c (cateto adyacente) junto con un angulo alfa

En las razones trigonométricas se cumple que:

$Sen\alpha = \frac{b}{a}$  

$Cos\alpha =\frac{c}{a}$

$Tan\alpha =\frac{b}{c}$  

También existen las inversas de estas 3 razones, pero no serán relevantes en nuestra demostración

Ahora, ¿Que sucede si dividimos seno entre coseno?, vamos a ver:

$Sen\alpha = \frac{b}{c}$

$Cos\alpha =\frac{c}{a}$

......................

Al dividir seno y coseno nos queda solamente una fracción entre ellas dos, la clave esta en dividir el 2do miembro:

$\frac{Sen\alpha }{Cos\alpha } = \frac{\frac{b}{a} }{\frac{c}{a} }$  

Recordemos que cuando queremos dividir 2 fracciones, escribimos una multiplicación e invertimos la 2da (es decir el divisor)

$\frac{Sen\alpha }{Cos\alpha } = \frac{b}{a} .\frac{a}{c}$

Podemos simplificar "a" y nos queda:

$\frac{Sen\alpha }{Cos\alpha } = \frac{b}{c}$

¿Pero que era b/a?, es la tangente, por lo tanto queda demostrado que:

$\frac{Sen\alpha }{Cos\alpha } = Tan\alpha$

Saludoss