Respuestas
Respuesta:
Un objeto se mueve de tal forma que su función de posición con respecto al tiempo
Explicación:
Respuesta:
Es muy frecuente en f´ısica de fluidos [1, 2] o en electromagnetismo [3, 4] tener que realizar derivadas con respecto a un
Explicación:
parametro, que normalmente es el tiempo, de integrales de ´
volumen, de superficie y de l´ınea. En efecto, el calculo de la ´
variacion de la masa o de la carga en un volumen dado es ´
comun al igual que el cambio con respecto al tiempo de un ´
flujo magnetico o la variaci ´ on temporal de una fuerza electro- ´
motriz. Todos estos casos implican conocer la derivada con
respecto al tiempo de una integral de volumen, de superficie o de l´ınea. El confundir estas derivadas con la derivada
material puede llevar a errores importantes. Mas a ´ un, como ´
normalmente el calculo de tales derivadas se realiza en for- ´
ma intuitiva [3, 4], se presta a confusiones. Sin embargo, en
la literatura solo se encuentran c ´ alculos de tales derivadas, ´
conocidas como parametricas, restringidos a situaciones es- ´
peciales[5] o en general se recurre a metodos matem ´ aticos ´
fuera del alcance de estudiantes de los primeros anos de la ˜
carrera como por ejemplo las deducciones de Frankel [6] que
utiliza derivadas de Lie y formas diferenciales. El objetivo de
este art´ıculo es, en primer lugar, calcular tales derivadas utilizando un formalismo matematico sencillo pero rigoroso, a ´
saber, el analisis vectorial [7]. En segundo lugar, utilizando el ´
formalismo anterior, se define un operador material para cada
una de las distintas derivadas de integrales que permite visualizar en general el problema y explicar los resultados utilizados en ciertas aplicaciones[9-11]. En la Sec. 2 de este art´ıculo
reproduciremos algunos de los calculos realizados en forma ´
poco rigurosa o intuitiva. Utilizando el analisis vectorial, en ´
la Sec. 3 demostraremos los calculos realizados en la segunda ´
seccion de una manera formal. Adem ´ as se sentar ´ an las bases ´
para poder realizar con la misma tecnica cualquier otro tipo ´
de derivada de una integral. La Sec. 4 se dedicara a exponer ´
una serie de resultados, ya conocidos, que podr´ıan obtenerse
utilizando el formalismo anterior y se generalizara el concep- ´
to de derivada material a operador material de una derivada
de una integral. En la conclusion se citar ´ an algunas aplica- ´
ciones obtenidas que aparecen en la literatura a partir de los
resultados obtenidos.
2. Calculos de derivadas con respecto al tiem- ´
po de integrales de manera no formal
Cuando uno quiere conocer el cambio con respecto al tiempo de la masa o de la carga contenida en un volumen que se
mueve o se deforma es muy comun utilizar el concepto de ´
derivada material [1, 3]. Sin embargo, al aplicarlo en forma
directa puede cometerse un error grave. Para entender esta
posible equivocacion, vale la pena revisar el c ´ alculo de una ´
de estas derivadas con respecto al tiempo de una integral. Por
ejemplo, calculemos la razon de cambio de la masa o la carga ´
contenida en un volumen. Si la masa o la carga en el volumen
V se representa por A y la densidad volumetrica de masa o ´
carga por ρ(
−→r , t), tenemos que
A =
Z
V (t)
ρ(
−→r , t)dV. (1)
Si nuestro volumen se deforma o se mueve, es posible que
pierda o gane masa o carga, es decir, A dependera del tiempo ´
no solo debido a la dependencia temporal de ´ ρ sino tambien´
por la deformacion o movimiento del volumen. Por lo tanto ´
podremos calcular la razon de variaci ´ on de ´ A con respecto al
tiempo y la expresaremos como
dA
dt =
d
dt
Z
V (t)
ρdV
. (2)
Para poder entender como act ´ ua la derivada con respec- ´
to al tiempo en la integral debemos recurrir a las verdaderas
espero que te sirva