Question

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Answer 1

1) Calcula el residuo de dividir 36²⁸ entre 7

$\bold{ 36^{28} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ (35+1)^{28} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ ( \overset{o}{7}+1)^{28} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7}+1^{28} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7}+1 = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ 1 = r}$

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2) Calcula el residuo de dividir 4365⁴³ entre 8

$\bold{ 4365^{43} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ (4360+5)^{43} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ ( \overset{o}{8}+5)^{43} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5^{43} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5(5^{42} )= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5(25)^{21}= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5(24+1)^{21}= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5(\overset{o}{8}+1)^{21}= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5(\overset{o}{8}+1^{21})= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+5(\overset{o}{8}+1)= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+\overset{o}{8}+5= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{\overset{o}{8}+5= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{5=r}$

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3) Calcula el residuo de dividir 25³ entre 6

$\bold{ 25^{3} = \overset{o}{6} + r}$

$\bold{ 5^{6} = \overset{o}{6} + r}$

$\bold{ (6-1)^{6} = \overset{o}{6} + r}$

$\bold{ (\overset{o}{6}-1)^{6} = \overset{o}{6} + r}$

$\bold{ \overset{o}{6}+(-1)^{6} = \overset{o}{6} + r}$

$\bold{ \overset{o}{6}+1 = \overset{o}{6} + r}$

$\bold{1 = r}$

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4) Calcula el residuo de dividir 31⁴ entre 7

$\bold{ 31^{4} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ (28+3)^{4} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ ( \overset{o}{7} + 3)^{4} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7} + 3^{4} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7} + 9^{2} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7} + (\overset{o}{7}+2)^{2} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7} + \overset{o}{7}+2^{2} = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ \overset{o}{7}+4 = \overset{o}{7} + r}$

$\bold{ 4 = r}$

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5) Calcula el residuo de dividir 14098² entre 8

$\bold{ 14098^{2} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ (14096+2)^{2} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ (\overset{o}{8}+2)^{2} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+2^{2} = \overset{o}{8} + r}$

$\bold{ \overset{o}{8}+4= \overset{o}{8} + r}$

$\bold{4= r}$

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6) La cantidad de los alumnos de un salón de clase es un número entre 100 y 120, Al ser agrupados de 5 en 5 y de 7 en 7, en ambos casos sobran 3. ¿Cuántos alumnos hay?

$\bold{ Numero \: de \: alumnos \: \to \: \red{x} }$

$\bold{ x = \overset{o}{5} + 3 }$

$\bold{ x = \overset{o}{7} + 3 }$

Entonces:

$\bold{ x = \overset{o}{\overline{MCM(5,7)}} + 3 }$

$\bold{ x = \overset{o}{35} + 3 }$

$\bold{ x =35k + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k \in } \mathbb{Z}$

Entonces:

$\bold{ 100< x < 120}$

$\bold{ 100< 35k+3 < 120}$

$\bold{97< 35k < 117}$

$\bold{2,77< k <3,34}$

Se sabe que "k" es un número entero, entonces:

$\bold{k = 3}$

Sustituyendo:

$\bold{ x =35k + 3}$

$\bold{ x =35(3)+ 3}$

$\bold{ x =105 + 3}$

$\bold{ x = 108}$

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8) El número de páginas de un libro es mayor que 299 y menor que 313, si se cuentan de 4 en 4 sobran 2, si se cuentan de 6 en 6 faltan 2. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

$\bold{ Numero \: de \: paginas\: \to \: \red{x} }$

$\bold{ x = \overset{o}{4} + 2 }$

$\bold{ x = \overset{o}{6} -2}$

Resolver:

$\bold{ x = \overset{o}{4}-4 + 2 }$

$\bold{ x = \overset{o}{6} -2}$

Resolver:

$\bold{ x = \overset{o}{4}-2 }$

$\bold{ x = \overset{o}{6} -2}$

Entonces:

$\bold{ x = \overset{o}{\overline{MCM(4,6)}} -2 }$

$\bold{ x = \overset{o}{12} -2 }$

$\bold{ x = 12k -2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k \in } \mathbb{Z}$

Entonces:

$\bold{ 299< x < 313}$

$\bold{ 299 < 12k -2 < 313 }$

$\bold{ 301< 12k < 315}$

$\bold{25,08< k <26,25}$

Se sabe que "k" es un número entero, entonces:

$\bold{k = 26}$

Sustituyendo:

$\bold{ x =12k - 2}$

$\bold{ x = 12(26) -2 }$

$\bold{ x = 312-2}$

$\bold{ x =310}$