¿cual es el termino numero 10 de una progresion geometrica si el primer termino es 8 y la razon es 2?
a 82
b 2.048
c 4.096
d 26
Respuestas
Si es una progresión geométrica hemos dicho que cada término (excepto el primero, a1) se obtiene multiplicando el anterior por la razón, que vamos a designar con la letra r. Es decir…
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r
a4 = a3 · r
…
an = an-1 · r
O, lo que es equivalente:
Y esto que acabamos de deducir es una de las formas (no es la única) que tenemos de calcular la razón en una progresión geométrica:
Cuando conocemos dos términos consecutivos de una progresión geométrica podemos calcular la razón de la progresión dividiendo un término de la misma por el inmediato anterior.
Volviendo a la progresión geométrica con la que empezamos…
efectivamente se cumple que:
Bueno, ya tenemos claro que multiplicando a partir del primer término (a1) sucesivamente por la razón (r) se van obteniendo los términos de la progresión geométrica…
Pues sabiendo esto podemos, por ejemplo, calcular el quinto término (a5) a partir del segundo (a2) directamente sin tener que calcular previamente a3 ni a4, ya que al avanzar 3 posiciones (5 – 2 = 3) lo que hacemos es multiplicar tres veces por la razón (r · r · r = r3)…
O, por ejemplo, calcular el octavo término (a8) a partir del tercero (a3), ya que como avanzamos 5 posiciones (8 – 3 = 5) multiplicamos cinco veces por la razón (r · r · r · r · r = r5)…
Y esto que acabamos de deducir es realmente útil a la hora de trabajar con progresiones geométricas, porque nos permite calcular un término cualquiera de la progresión a partir de otro conociendo la razón (r), sin necesidad de que sean consecutivos.
Si llamamos ap a un término genérico que ocupe la posición p y aq a un término que ocupe la posición q, siendo p<q (el término ap aparece antes en la progresión que el término aq)…
ambos términos se relacionan a través de la razón (r) de la forma:
Es lo mismo que hemos visto en los dos ejemplos anteriores pero generalizando.
Pero lo que es mejor aún es que esta expresión nos permite calcular la razón (r) conociendo dos términos cualesquiera de una progresión geométrica (ap y aq), ya que si sustituimos ap y aq por sus valores, y p y q por sus posiciones correspondientes, tenemos una ecuación en la que la única incógnita es r (la razón).
Por ejemplo, si a2 = 2 y a7 = 64…
Y todo esto que acabamos de ver lo podemos utilizar para definir la expresión del término general de una progresión geométrica (an), que nos permite calcular cualquier término de la misma:
Si te fijas he utilizado como término de partida el primer término (a1), aunque podría haber empleado cualquier otro, pero se suele hacer así ya que es el único término de la progresión geométrica que viene fijado de inicio y no se obtiene a partir de ninguno anterior.
Volviendo a la progresión…
en la que hemos visto que r = 2 y a1 = 1, el término general de la misma será:
y, como he comentado antes, con esta expresión podemos calcular ahora el término de nuestra progresión geométrica que queramos, sustituyendo simplemente n por la posición que ocupa dicho término.
Por ejemplo:
y así los que queramos.
Bien, ya sabemos obtener la razón de una progresión, calcular términos de la misma y obtener la expresión del término general.
Antes de explicarte algo más sobre las progresiones geométricas…
… ¿Recuerdas la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo?
¿No la conoces?
Es la historia en la que el rey Sheram ofrece en agradecimiento a Sissa, que al descubrirle el juego del ajedrez había conseguido aliviar en buena parte la pena que tenía por la pérdida de su hijo, una recompensa. Y éste le pide un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez, dos granos por la segunda casilla, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta… y así (en cada casilla el doble de granos que en la casilla anterior) hasta completar las 64 casillas del tablero.
¿Os suenan esos números?
Son los de nuestra progresión geométrica…
Lo sorprendente de la historia de Sissa es el total de granos de trigo de la recompensa que pidió que, pareciendo que no iba a ser mucho, fue de 18.446.744.073.709.551.615 granos (casi dieciocho trillones y medio).