la velocidad maxima a la que una motocicleta de 130 kg puede tomar una curva sin derraparse es de 36 m/s. Si el coeficiente de friccion entre el pavimento y las llantas de moto es de 0.8 ¿cual es el radio de la curvatura de la pista?
Respuestas
Respuesta:
Consideremos un vehículo que está describiendo una curva de radio R, con velocidad constante v. Debido a la distribución de la carga, el centro de masas está situado en la posición xc, yc tal como se señala en la figura. Si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del vehículo y la carretera es μ. Vamos a determinar si
El vehículo está en equilibrio
Si desliza hacia fuera, saliéndose de la curva
Si vuelca, girando alrededor de un eje que pasa por las ruedas de la parte derecha, cuando el automóvil describe una curva hacia la izquierda.
Si desliza y vuelca a la vez
Descripción
Para un observador no inercial, que viaja con el vehículo, las fuerzas que actúan sobre el mismo, son:
N1 y N2 son las reacciones o fuerzas que ejerce la carretera sobre las ruedas del vehículo
F1 y F2 son las fuerzas de rozamiento que se oponen al deslizamiento del vehículo a lo largo de la dirección radial y hacia fuera
El peso mg del vehículo actúa en el centro de masas
La fuerza centrífuga Fc actúa en el centro de masas.
Si el vehículo permanece en reposo a lo largo de la dirección radial, tendremos que
N1+N2=mg
Fc=F1+F2
Tomando momentos respecto de O. La condición de equilibrio se expresa
-N1·a-Fc·yc+mg·xc=0
Siendo a la distancia entre las ruedas. Despejamos N1 en esta última ecuación
Examinamos las distintas situaciones:
El vehículo vuelca
A medida que aumenta la velocidad v del vehículo, aumenta la fuerza centrífuga Fc=mv2/R, hasta que N1 se haga cero. Un incremento de la velocidad hace que el vehículo empiece a volcar.
La condición para que empiece a volcar es N1=0 ó v2/R=gxc/yc
El vehículo desliza
La fuerza de rozamiento F1+F2=Fc no puede superar el valor máximo μN1+μN2= μmg
La condición para que el vehículo empiece a deslizar es que v2/R=μg
Si mgxc>Fcyc el vehículo no vuelca
Si Fc< μmg el vehículo no desliza
Si mgxc>μmgyc, es decir, si μ<xc/yc el vehículo empieza a deslizar en el momento en el que se cumple que v2/R= μg
Si μ>xc/yc el vehículo empieza a volcar en el momento en el que se cumple que v2/R=gxc/yc
Ejemplo 1:
Posición del c.m. xc=0.7, yc=1.0
Sea μ=0.5
Estamos en el caso μ<xc/yc
El vehículo empieza a deslizar cuando se cumple que v2/R= μg, es decir, cuando v=49.5 m/s
Comprobación:
El máximo valor de la fuerza de rozamiento es μmg=0.5·9.8·m=4.9·m
Sea v=49 m/s.
La fuerza centrífuga vale Fc=mv2/R=m·492/500=4.8·m. La fuerza de rozamiento F1+F2=Fc es menor que su valor máximo, el vehículo no desliza
Calculamos el valor de N1
Como N1>0 el vehículo no vuelca
Sea v=50 m/s.
La fuerza centrífuga vale Fc=mv2/R=m·502/500=5·m. La fuerza de rozamiento F1+F2=Fc es mayor que su valor máximo, el vehículo desliza
Calculamos el valor de N1
Como N1>0 el vehículo no vuelca
Ejemplo 2:
Posición del c.m. xc=0.7, yc=1.0
Sea μ=0.8
Estamos en el caso μ>xc/yc
El vehículo empieza a volcar cuando se cumple que v2/R=gxc/yc, es decir, cuando v=58.6 m/s
Comprobación
El máximo valor de la fuerza de rozamiento es μmg=0.8·9.8·m=7.84·m
Sea v=58 m/s.
La fuerza centrífuga vale Fc=mv2/R=m·582/500=6.73·m. La fuerza de rozamiento F1+F2=Fc es menor que su valor máximo, el vehículo no desliza
Calculamos el valor de N1
Como N1>0 el vehículo no vuelca
Sea v=60 m/s.
La fuerza centrífuga vale Fc=mv2/R=m·602/500=7.2·m. La fuerza de rozamiento F1+F2=Fc es menor que su valor máximo, el vehículo no desliza
Calculamos el valor de N1
Como N1<0 el vehículo vuelca
A partir de la velocidad v2/R= μg, es decir v2/500=0.8·9.8, v=62.6 m/s el vehículo desliza y vuelca a la vez
Actividades
Se introduce
La distribución de carga en el vehículo, es decir la posición (xc, yc) del c.m., moviendo con el puntero del ratón el pequeño círculo de color rojo, en el interior del rectángulo del mismo color.
El coeficiente de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.
El radio R, de la curva se ha fijado en el programa interactivo en el valor R=500 m.
La anchura del vehículo (distancia entre ruedas) se ha fijado en el valor a=2.0 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
La velocidad del vehículo v (en m/s), actuando en la barra de desplazamiento titulada velocidad.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el comportamiento del vehículo:
Si está en equilibrio
Si desliza
Si vuelca
Si desliza y vuelca a la vez.
Se dibujan las fuerzas sobre el vehículo, y se da el valor (de la fuerza por unidad de masa) de algunas de ellas.
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
Arrastrar con el puntero del ratón el pequeño círculo de color rojo
Referencias
Para el segundo apartado, Estabilidad de un vehículo
Cross R. Role of the centrifugal force in vehicle roll. Am. J. Phys. 67 (5) May 1999, pp. 447-448.
Explicación: