Question

Si el alambre para realizar una electrocorticografía está hecho de tungsteno y tiene un diámetrode 0.74 mm, la punta tiene una longitud de 2.0 mm y está afilado de modo que su diámetro enel extremo mide 2.4 μm, ¿cuál es la resistencia de la punta? (La resistividad del tungsteno es 5.51 x 10–8Ω m.).

Answer 1

La resistencia de la punta de tungsteno es de 0,08 ohmios.

Explicación:

El alambre de tungsteno se puede modelar como un cuerpo en  forma de cono trunco, donde podemos establecer una función para el área en función de la longitud:

$s(x)=\pi\frac{D^2}{4}$

A su vez el diámetro del conductor es:

$D(x)=7,4\times 10^{-4}m-\frac{7,4\times 10^{-4}m-2,4\times 10^{-6}}{2\times 10^{-3}m}x\\\\D(x)=7,4\times 10^{-4}m-\frac{7,4\times 10^{-4}m-2,4\times 10^{-6}}{2\times 10^{-3}m}x\\\\D(x)=7,4\times 10^{-4}m-0,3688x$

Y así podemos hallar un diferencial de resistencia:

$dR=\rho\frac{dx}{s(x)}=\rho\frac{dx}{\pi\frac{(7,4\times 10^{-4}m-0,3688x)^2}{4}}\\\\dR=\rho\frac{dx}{s(x)}=4\rho\frac{dx}{\pi.(7,4\times 10^{-4}m-0,3688x)^2}$

Para obtener la resistencia hay que integrar esta expresión:

$R=\int\limits^{0,002}_0 {4\rho\frac{1}{\pi.(7,4\times 10^{-4}m-0,3688x)^2}} \, dx \\\\R=\frac{4\rho}{\pi}\int\limits^{0,002}_0 {\frac{1}{(7,4\times 10^{-4}m-0,3688x)^2}} \, dx \\\\u=7,4\times 10^{-4}m-0,3688x; du=-0,3688dx\\\\R=\frac{4\rho}{-0,3688\pi}\int\limits^{0,002}_0 {\frac{1}{u^2}} \, du \\\\R=\frac{4\rho}{0,3688\pi}[\frac{1}{7,4\times 10^{-4}m-0,3688x}]^{0,002}_0\\\\R=\frac{4.5,51\times 10^{-8}\Omega.m}{0,3688\pi}[\frac{1}{7,4\times 10^{-4}m-0,3688x}]^{0,002}_0\\\\R=0,08\Omega$