Un triangulo rectangulo, tiene un angulo de 30 grados y un cateto de 4. Cual es el valor de x y y ?
Respuestas
Respuesta:
de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de
elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la
relación pitagórica.
5.1 Triángulos rectángulos
Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
5.2.3 Teorema de Pitágoras
Resolución de
Triángulos
Rectángulos
c
b
a
A B
C
a : hipotenusa del triángulo rectángulo
Δ
BAC
b : cateto
c : cateto
c
b
a
A B
C
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. Es decir:
2 2 2 a = b + c
A esta relación se le llama relación pitagórica.
El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado
perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios
para trazar ángulos rectos. En sus papiros se
observa que después de las inundaciones del
Nilo y construyendo triángulos rectángulos con
cuerdas, fijando los límites de las parcelas,
trazaban direcciones perpendiculares.
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5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras
Si en un triángulo
Δ
ABC se cumple 2 2 2 a = b + c , entonces
Δ
ABC es rectángulo y el ángulo
recto es el ángulo cuyo vértice es A.
Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces,
podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.
Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los
hindúes cumplen con la relación pitagórica.
5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
Solución
Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras
tenemos 12 5 169 2 2 2 a = + = ⇒ a = 169 = 13
por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm
Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: e = 9cm , g = 4.5cm y
ο β = 30 . Calcular : f y α
Solución
Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:
e2
= f
2
+ g2
al reemplazar por los datos, tenemos:
e2
= f
2
+ 4.52⇒ f
2
= g2
– 4.52
= 60.75
⇒ f = 60.75 ≅ 7.8
Por lo tanto: f ≅ 7.8cm
Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:
ο ο ο
α = 90 − 30 = 60
Ejemplo 3: Dado el
Δ
ABC tal que:
a) a = 10cm , b = 8cm y c = 6 cm
b) a = 9cm , b = 11cm y c = 5 cm
Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo.
Solución
Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras
Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los
catetos, en consecuencia debería cumplirse:
2 2 2 a = b + c
(1) 100 2 a =
(2) 8 6 100
Explicación paso a paso: