Question

¿Calcula la suma de todos los números de 9 cifras en los que aparece exactamente? una vez cada uno
de los dígitos 1, 2, 3,..., 9

Answer 1

El resultado de esa suma de números es 201.599.999.798.400

Explicación paso a paso:

Empezamos diciendo que existen 9!=362880 números posibles de 9 cifras donde aparece una vez cada uno de los dígitos del 1 al 9. Podemos hallar también en cuantos números aparece cada cifra en la misma posición como 8!=40320.

Por un lado cada uno de estos números lo podemos descomponer en sus cifras como:

$n=n_1+10n_2+100n_3+1000n_4+10000n_5+100000n_6+1000000n_7+10000000n_8+100000000n_9$

Vamos aplicando la propiedad asociativa para sumar por un lado n1 de cada número, por otro lado 10.n2 de cada número, luego 100.n3 de cada número y así sucesivamente y luego sumamos estas sumatorias parciales para obtener el resultado.

Así, si empezamos sumando la última cifra de todos lo números planteados tenemos:

$n_1=40320.1+40320.2+...40320.9=40320(1+2+3+4+5+6+7+8+9)\\\\n_1=40320.45=1814400$

Luego seguimos con la segunda cifra de todos los números, que son 362880 y cada dígito ocupa la segunda cifra 40320 veces, hacemos lo mismo, el resultado se multiplica por 10 (ya que es la suma de los 10n2 y el 10 sale como factor común) y da 18144000.

Se sigue con las subsiguientes cifras y el resultado queda:

$n=1814400+1814400.10+1814400.100+...+1814400.10^8\\\\n=1814400(10^8+10^7+10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10^1+10^0)\\\\n=1.814.400\times 111.111.111=201.599.999.798.400$