De un paralelogramo ABCD se conocen las coordenadas de tres de sus vértices consecutivos A(1,-1), B(2,0), C(3,5) Comprueba que las diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M, y halla sus ecuaciones.
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Si es un paralelogramo entonces la recta BD tiene que ser paralela a AC y la recta AB tiene que ser paralela con CD. Para calcularla se tiene que:
pendiente AB = pendiente CD
pendiente = (y2- y1) / (x2-x1) = ( 0 - [-1] ) / ( 2 - 1) = 1/1 = 1
Entonces D está en el punto (4 , 6)
Las diagonales serán las rectas que conforman AD y CB. La ecuación de la recta es:
y = ax +b ; a = (y2- y1) / (x2-x1) ; b = y - a*x
AD : a = [ 6 - (-1) ] / ( 4 - 1) = 7/3
Considerando un punto de la recta, digamos el punto A, se tiene que
y = ax + b
-1 = 7/3*1 + b
b = -1 - 7/3 = -3/3 -7/3 = -10/3
Por lo tanto la recta de la diagonal AD es: y = 7/3 x -10/3
De forma similar para la diagonal CB se tien que:
a = (5 - 0) / (3-2) = 5/1 = 5
Tomando el punto B se tiene que
y = 5x + b
0 = 5*2 + b = 10 + b
b = -10
La recta de la diagonal CB será: y = 5x -10
Ambas rectas se cortarán en el punto (x , y) que las rectas compartan. Esto se obtiene igualando ambas rectas de la siguiente forma:
Recta AD = Recta CB
7/3 x -10/3 = 5x -10
10 - 10/3 = 5x - 7/3 x
30/3 - 10/3 = 15x/3 - 7x/3
20/3 = 8x/3
20*3 / (3*8) = 20/8 = 5/2 = 2.5 = x
Es decir ambas rectas se cortan cuando x tiene el valor de 2.5 , para el cual las rectas tienen el valor
AD : y(2.5) = 7/3 *5/2 -10/3 = 35/6 - 10/3 = 35/6 -20/6 = 15/6 = 5/2 = 2.5
BC : y(2.5) = 5*5/2 -10 = 25/2 - 10 = 25/2 - 20/2 = 5/2 = 2.5
Por lo tanto las rectas se cortaran en el punto (2.5 , 2.5)
