Question

Un globo aerostático se observa desde un punto en tierra con un ángulo de elevación de 30°. Nos acercamos 100 metros hacia el globo y desde ese punto se lo observa a una distancia de elevación de 60°. ¿A qué altura se encuentra el globo?

Answer 1

El globo se encuentra a una altura de aproximadamente 86.59 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este problema vamos a configurar dos imaginarios triángulos rectángulos.      

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC está conformado por el lado AB que equivale a la proyección de la altura del globo sobre un plano perpendicular al suelo,  el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta el punto en tierra donde se eleva verticalmente el globo - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DC, y no sabemos la longitud del segmento BD - al cual llamaremos variable x - y el lado AC es la proyección visual hacia el globo aerostático con un ángulo de 30°.    

El segundo imaginario triángulo rectángulo ABD está configurado por el lado AB que representa la proyección de la altura del globo sobre el suelo, el lado BD que es la distancia sobre el plano del suelo del observador hasta el punto donde se eleva de manera vertical el globo después de haber caminado en línea recta hacia allí 100 metros. Este lado BD es de valor desconocido y es a la que llamamos variable x. Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hacia el globo desde un ángulo de 60°.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

• Nos vamos a ocupar de las relaciones trigonométricas entre los dos triángulos rectángulos, prescindiendo del triángulo oblicuángulo ACD en esta clase de problema.

Conocemos en forma parcial la distancia hacia el punto donde se eleva el globo verticalmente y sabemos de dos ángulos de elevación hacia el globo, uno de ellos de 30° y el otro de 60°, dependiendo de cómo se ubique el observador en el plano del suelo mientras observa al globo aerostático en ambos casos.  

• Distancia del observador hacia donde se eleva el globo = 100 m + x

• Ángulo de elevación = 30°

• Ángulo de elevación = 60°  

• Debemos hallar a que altura se encuentra el globo = lado AB = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y 

Donde x será la distancia a hallar sobre la línea de suelo hasta donde se eleva el globo verticalmente, desde que la persona se acercó a ese punto recorriendo 100 metros, que equivale al lado BD del segundo triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita y será la altura a la que se encuentra el globo que es igual a la medida del lado AB de ambos triángulos rectángulos.  

Si 30° y 60° son uno de los ángulos agudos da cada uno de los dos triángulos rectángulos ,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado BC), los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar a que altura se encuentra el globo, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente,  

Como conocemos parcialmente el lado BC, y desconocemos el segmento BD = incógnita x

Dónde el lado AB es equivalente a la altura donde se encuentra el globo aerostático = incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (60^o) = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to x \ . \ tan(60^o ) = y } }$

$\boxed {\bold {tan (30^o) = \frac{y}{x +100} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to (x + 100) \ . \ tan (30^o) = y } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o)= (x + 100) \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o) = x \ . \ tan(30^o) +100 \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o) - x \ . \ tan(30^o) =100 \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(60^o) - \ . \ tan(30^o) =100 \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \ . \ tan(30^o) }{ tan(60^o) - \ tan(30^o) } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \ . \ 0.5773 }{ 1.732 -0.5773 } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 57.73 }{ 1.1547 } }}$

$\large\boxed { \bold {x = 49,99 \ metros }}$

La medida de la distancia x es de ≅ 49,99 metros

Hallando la altura a la que se encuentra el globo

Si

$\boxed {\bold {y = x \ . \ tan(60^o)}}$

y

$\boxed { \bold {x = \frac{ 100 \ . \ tan(30^o) }{ tan(60^o)- \ tan(30^o) } }}$

Reemplazando

$\boxed { \bold {h = \frac{ 100 \ . \ tan(30^o) \ .\ tan(60^o) }{ tan(60^o)- \ tan(30^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 100 \ . \ 0.5773 \ .\ 1.732 }{ 1.732 - \ 0.5773 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 99.98836 }{ 1.1547 } }}$

$\large\boxed { \bold {h = 86.59 \ metros }}$

El globo se halla a una altura de ≅ 86,59 metros