Question

¿los extremos relativos ocurren solo en numeros o puntos criticos?

Answer 1

Recuerda que los puntos críticos (para este caso), son aquellos x=a donde f'(a) = 0 y donde la función f y f' no estén definidas, con la condición que la función f sea diferenciable en a.

Los extremos relativos son puntos donde la función tiene un máximo o mínimo LOCAL , además si x = a es un extremo relativo o absoluto, y f es una función diferenciable en x=a, entonces se verifica f '(x) = 0, por ello se buscan los ceros de f ' que podrían ser extremos, pues no siempre son extremos, como por ejemplo en la función constante f(x) = c, donde existe f ' (x) = 0, sin embargo no tiene extremos.

¿Ahora qué pasaría si x no es punto crítico? ¿habrá extremo en x? 
Pues la respuesta es afirmativa.

Por ejemplo f(x)=2x+3, con $x\in[-1,7)$, aquí no encontrarás puntos críticos, sin embargo tiene un extremo absoluto, que es x = -1.

Otro ejemplo es f(x) = |x| que no es diferenciable en x=0, sin embargo este es un mínimo.

Por último podríamos construir una función

$f(x)=\begin{cases} 0&,\mbox{si }x\in \mathbb Q\\ 1&, \mbox{si }x\in \mathbb R-\mathbb Q\\ \end{cases}$

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