Question

¿Cuánto mide el área sombreada?

Answer 1

Respuesta:

Si analizamos correctamente. Los semicírculos sombreados pueden ponerse en los espacios de los semicírculos blancos. Dando como resultado un cuadrado. (Ver imagen)

Como los semicírculos son de radio 1. El lado del cuadrado es igual a 4. Es decir, dos veces el diámetro de los círculos menores.

Un cuadrado de área: 16

Para encontrar el área del circulo mayor. Debemos de encontrar su radio. Utilizaremos un artilugio geométrico. Trazaremos un triangulo rectángulo de Altura 6 y base 2. De esta manera (Ver imagen).

Utilizamos teorema de pitagoras:

a^2 + b^2  = c^2

2^2 + 6^2 = c^2

4 + 36 = c^2

√40 = √c^2

√40 = c

Descomponemos 40:

40    I 2

20    I  2

10     I   2

5      I   5

1

2^2* 2 * 5 = 40

Reemplazamos en la raíz:

$\sqrt{2^2*2*5}$

$2\sqrt{2*5} =2\sqrt{10}$

Tenemos que 2√10 es igual al diámetro del circulo. Como deseamos encontrar es radio. Dividimos por dos.

2√10/2 = √10

Sacamos la área:

π * (√10)^2 = 10π

Ahora encontraremos el área sombreada sacando la diferencia entre el área del circulo mayor y el cuadrado:

El resultado final sería este

10π - 16

Podemos simplificar más obteniendo factor común dos:

2(5π  - 8)

El ejercicio es algo extenso y un poco complejo. Sin embargo, espero haberte ayudado :)