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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Tomamos la suma de las áreas de los rectángulos como aproximación del valor exacto
del área A entre las dos gráficas:
A ;
n
i=1
[f(ci) – g(ci)] ∆x.
Finalmente, si existe el límite para n → ∞, dará el área exacta, lo que identificamos como
una integral definida:
Área entre (1.1) dos curvas
Sección 5.1 Área entre curvas 341
Figura 5.3a
Área aproximada.
Figura 5.3b
Área del i-ésimo rectángulo.
A =
n
i=i
[f(ci) – g(ci)] ∆x =
b
a lím [f(x) – g(x)] dx. n → ∞
Ejemplo 1.1 Área entre dos curvas
Calcular el área acotada por las gráficas de y = 3 – x e y = x
2 – 9 (figura 5.4).
Solución La región, ilustrada en la figura 5.4, viene determinada por la intersección de dos
curvas. Las coordenadas x de los puntos de intersección serán los límites de integración.
Para hallarlas, igualamos a cero las dos funciones y resolvemos en x. Se tiene
3 – x = x
2 – 9, o sea, 0 = x
2 + x – 12 = (x – 3)(x + 4).
Así, pues, las curvas se cortan en x = –4 y en x = 3. Ahora hay que ver cuál de las gráficas es
la frontera superior de la región. En este caso, la curva superior es y = 3 – x. Por tanto, para
cada valor de x la altura del rectángulo indicado en la figura 5.4 es
h(x) = (3 – x) – (x
2 – 9).
No se preocupe por el hecho de que (x
2 – 9) < 0 en parte del intervalo. La altura de un rec-
tángulo dado sigue siendo h(x). Por (1.1), el área entre las curvas viene dada por
A =
3
–4
[(3 – x) – (x
2 – 9)] dx
=
3
–4
(–x
2 – x + 12) = – – + 12x
3
–4
= – – + 12(3) – – – + 12(–4) = .
343
6
(–4)2
2
(–4)3
3
32
2
33
3
x
2
2
x
3
3
Nota 1.1
La fórmula (1.1) sólo es válida si
f(x) ≥ g(x) en el intervalo [a, b].
En general, el área entre las gráfi-
cas de f(x) y g(x) viene dada por
b
a
|f(x) – g(x)| dx.
Nótese que para calcular esta inte-
gral hay que calcular primero
d
c
[f(x) – g(x)] dx
en cada uno de los subintervalos
donde f(x) ≥ g(x), después
d
c
[g(x) – f(x)] dx
en cada uno de los subintervalos
donde g(x) ≥ f(x) y finalmente
sumar esas integrales.
Figura 5.4
y = 3 – x e y = x
2 – 9.
A veces, la gráfica de una de las funciones es curva superior en parte del intervalo e
inferior en otra, como ocurre en el próximo ejemplo.
Ejemplo 1.2 Área entre dos curvas que se cruzan
Calcular el área acotada por las gráficas de y = x
2 e y = 2 – x
2 en 0 ≤ x ≤ 2.
Solución Como siempre, una figura ayuda a adoptar la estrategia adecuada. La figura 5.5
muestra que las curvas se cortan en el centro del intervalo, así que será necesario calcular
dos integrales, una en el intervalo donde 2 – x
2 ≥ x
2 y otra en el intevalo donde x
2 ≥ 2 – x
2
.
Parece que se cortan en x = 1, siendo 2 – x
2 ≥ x
2 en 0 ≤ x ≤ 1 y x
2 ≥ 2 – x
2 en 1 ≤ x ≤ 2. Para
hallar el punto exacto de corte resolvemos x
2 = 2 – x
2
, o sea, 2x
2 = 2, o x
2 = 1, con soluciones
x = ±1. Pero x = –1 está fuera del intervalo en cuestión, así que el único punto de intersec-
ción que nos interesa está en x = 1. Por (1.1), el área es
A =
1
0
[(2 – x
2
) – x
2
] dx +
2
1
[x
2 – (2 – x
2
)] dx
=
1
0
(2 – 2x
2
) dx +
2
1
(2x
2 – 2) dx = 2x –
2
3
x
3
1
0
+
2
3
x
3
– 2x
2
1
= 2 – – (0 – 0) + – 4 – – 2 = + + = 4.
En el ejemplo 1.2, aunque 2 – x
2 < 0 en una parte del intervalo, el cálculo del área
depende sólo de que 2 – x
2 ≥ x
2 o x
2 ≥ 2 – x
2
. Conviene advertir que ese ejemplo estaba pre-
parado para que el punto de intersección fuera fácil de hallar. En el próximo ejemplo, por el
contrario, hay que recurrir a una aproximación numérica.
Un caso en el que los puntos de intersección no se conocen
Ejemplo 1.3 exactamente
Calcular el área acotada por las gráficas de y = cos x e y = x
2
.
Solución Antes de nada hemos de determinar los puntos de intersección de las curvas. La
figura 5.6 indica que las intersecciones están cerca de x = –1 y de x = 1. Las intersecciones
ocurren donde cos x = x
2
. No sabemos resolver esta ecuación, de modo que hay que usar algún
método de aproximación. [Por ejemplo, se puede aplicar el método de Newton a los ceros de
la ecuación f(x) = cos x – x
2 = 0]. Se obtienen así los valores aproximados x = ±0,824132, que
serán, por tanto, los límites de integración.
La gráfica muestra que, entre esos dos puntos, cos x ≥ x
2
, así que el área buscada es
A ;
0,824132
–0,824132
(cos x – x
2
) dx = sen x – x
3
0,824132
–0,824132
= sen 0,824132 – (0,824132)3 – sen (–0,824132) – (–0,824132)3
; 1,09475.
Nótese que hemos aproximado tanto los límites de integración como el cálculo final.
Calcular el área de algunas regiones exige romper la integral en varias, cada una con
distintas fronteras superior e inferior.
1
3
1
3