Question

de cuantas formas se puede resolver un limite

Answer 1

Si te refieres a los límites de una función en una sola variable, entonces hay diversos métodos y son los siguientes

1. Funciones continuas. Si la f: R → R es continua en x = a, entonces

                                             $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$

Ejemplo.

(-) Todos los polinomios

(-) Las funciones elementales: funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmos, etc.

2. Funciones equivalentes. Sean f y g funciones definidas en los reales, tal que  $\lim\limits_{x\to a}g(x)=c$ y existe el límite $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ entonces

                                       $\lim\limits_{x\to a}g(x)\cdot f(x)=c\lim\limits_{x\to a} f(x)$

Ejemplo.

$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x-1}{x-1}\cdot (x+1)=\lim\limits_{x\to1} (x+1)=2$

3. Funciones equivalentes II y asíntóticamente equivalentes.

Sean las funciones f y g tales que

                                    $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=c\Longrightarrow f(x)\sim cg(x)$

Ejemplo.

                                          $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x^2-1}{x+\sin x-2}$

De antemanos sabemos $\sin x\sim x ~,~ x\to0$ entonces

          $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x^2-1}{x+\sin x-2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2-1}{x+x-2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{2(x-1)}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{1}{2}$

(También se puede aplicar directamente el método 1)

De esto nace el método de L'Hopital

4. L'Hopital. Este método sirve para las indeterminaciones 0/0, ∞/∞ y derivados. Eso sí, siempre y cuando el límite exista

Sean f y g funciones en R,

                             $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=(alguna ~indeterminaci\'on)$

Si el siguiente límite EXISTE

                                               $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$

Entonces

                                                 $\lim\limits_{x\to a }\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$

Ejemplo.

                                          $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1- \cos (x-1)}{x^2-1}$

solución

$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1- \cos (x-1)}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{ \sin (x-1)}{2x}=0$

También están los límites de funciones compuestas, límites de funciones laterales, funciones a tramos y tal vez me quede corto. El ingenio de cálculo es importante teniendo bases sólidas en las materias elementales.