Question

Hallar el número que sigue y el patrón:
0; 1; 3; 9; 33; …

Answer 1

Tal como se propone puede seguir cualquier número. Ejemplos notables de ello pueden ser las siguientes fórmulas generadoras de tales números

1) serie de sumas

                                                 $\displaystyle\\a(n)=\sum_{k=1}^nk!$

obtenemos la sucesión

0, 1, 3, 9, 33, 153, 873, 5913, 46233, 409113, 4037913, 43954713, 522956313, 6749977113, 93928268313, 1401602636313, 22324392524313, 378011820620313, 6780385526348313, 128425485935180313, 2561327494111820313, 53652269665821260313

2) Otro patrón es

                              $a(n)=n-1, \forall n<3~,~a(n)=2^{2n-5}+1$

obtenemos la sucesión

0, 1, 3, 9, 33, 129, 513, 2049, 8193, 32769, 131073, 524289, 2097153, 8388609, 33554433, 134217729, 536870913, 2147483649, 8589934593, 34359738369, 137438953473, 549755813889, 2199023255553, 8796093022209, 35184372088833

3) uno más

                    $a(n)=\dfrac{1}{2}\left[\text{nextprime}(3^n)-\text{nextprime}(2^n)\right]~,~\forall n\in\mathbb{Z}_0$

donde "nextprime(x)" es la función que nos da un el número primo que le sigue inmediatamente a x.

que nos da la

0, 1, 3, 9, 33, 107, 333, 1036, 3153, 9583, 29010, 87557, 263679, 793061, 2383280, 7158069, 21490605, 64504548, 193579176, 580868607, 1742867913, 5229128045, 15688432647, 47067395121, 141206379612