Question

Una P.G. consta de cuatro términos. Si la suma del primero y el último es 168 y la suma de los dos centrales es 72, encuentre esta progresión.
ayúdenme porfi.

Answer 1

Respuesta:

La PG es 6, 18, 54, 162

Explicación paso a paso:

Sea la P.G de 4 términos t1, t2, t3, t4 con una razón geométrica r

Por definición:

t2 = t1*r

t3 = t2*r = (t1*r)*r = t1*r²

t4 = t3*r = (t1*r²)*r = t1*r³

Entonces, la P.G. consiste en: t1, t1*r, t1*r², t1*r³

Primer dato, la suma del primero y el último es 168:

t1 + t1*r³ = 168

Factorizamos t1 ==> t1*(1+r³) = 168

Despejamos t1 ==> t1 = 168/(1 + r³)  .............(a)

Segundo dato, la suma de los dos centrales es 72

t1*r + t1*r² = 72

Factorizamos t1 ==> t1*(r + r²) = 72

Despejamos t1 ==> t1 = 72/(r + r²) ......(b)

Como es el mismo t1, igualamos (a) y (b)

168/(1 + r³) = 72/(r + r²)

Pasamos a multiplicar los denominadores:

168*(r + r²) = 72*(1 + r³)

Podemos hacer simplificaciones, sacamos 24ava:

7*(r + r²) = 3*(1 + r³)

Factorizamos r, en el primer miembro, y factorizamos por la identidad algebráica de la suma de cubos en el segundo miembro:

7*r*(1 + r) = 3* (1 + r)*(1 - r + r²)

Simplificamos (1 + r) y resolvemos:

7*r = 3*(1 - r + r²)

7*r = 3 - 3*r + 3*r² ===> 3r² -10r +3 = 0

Resolvemos la ecuación de 2do grado por la fórmula general:

$r = \frac{-(-10) +- \sqrt{(-10)^{2}-4*3*3 } }{2*3}$

Resolviendo:

r = (10 +- √64)/6  ===> r = (10 +- 8)/6

Las dos soluciones de r son: r = (10 + 8)/6 = 3 y r = (10-8)/6 = 1/3

Tomamos el valor entero r = 3, y hallamos t1 en (a) y en (b)

t1 = 168/(1 + r³) ===> t1 = 168/(1 + 3³) ==> t1 = 168/28 = 6

En (b): t1 = 72/(r + r²) ===> t1 = 72/(3+3²) = 72/12 = 6

Finalmente, la PG es:

6, 6*3, 6*3², 6*3³

6, 18, 54, 162