Question

Calcular el volumen del solido limitado superiormente por la esfera$x^2+y^2+z^2=a^2$ y el cono $z^2=x^2+y^2$ z≥0

Answer 1

1. identifiquemos la región

                               $x^2+y^2+(x^2+y^2)=a^2\to x^2+y^2 = \dfrac{a^2}{2}$

             $R=\left\{(x,y,z): x^2+y^2\leq \dfrac{a^2}{2}~,~\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq \sqrt{a^2-x^2-y^2}\right\}$

2. Cambio de variable

                                      $x=r\cos \theta~~,~~y=r\sin\theta~~,~~z=\phi$

Entonces el jacobiano es $J(r,\theta,\phi)=|r|$

Nueva región

                 $R'=\left\{(r,\theta,\phi): 0\leq r\leq \dfrac{a}{\sqrt2},0\leq \theta <2\pi , r\leq \phi \leq \sqrt{a^2 -r^2}\right\}$

3. Volumen del sólido

                                $\displaystyle\\V=\int_0^{a/\sqrt2}\int_0^{2\pi}\int_{r}^{\sqrt{a^2-r^2}}|r|~d\phi~ d\theta~ dr\\ \\\\V=2\pi\int_0^{a/\sqrt2}r(\sqrt{a^2-r^2}-r )~dr\\ \\\\V=\dfrac{\pi}{3}(2-\sqrt{2})a^3$