Question

Sean los puntos P(1;0;1), Q(0;1;3) y R(0;3;0). Hallar la proyección ortogonal del vector PQ → sobre el vector P R →.

Answer 1

Respuesta:

Módulo:   $|po| = \frac{2}{\sqrt{11} }$              

Vector:    $po_v=(-\frac{2}{11 };\frac{6}{11 };-\frac{2}{11 })$

Explicación paso a paso:

tenemos que hallar los dos vectores, y para que sea más fácil hacemos lo siguiente

$v=PQ=(0-1;1-0;3-1)$

$v=(-1;1;2)$

$u=PR=(0-1;3-0;0-1)$

$u=(-1;3;-1)$

Ahora es necesario hallar el producto escalar entre u y v

$v.u=(-1)(-1)+(1)(3)+(2)(-1)$

$v.u=1+3-2$

$v.u=2$

necesitamos el modulo de u

$|u|=\sqrt{(-1)^2+(3)^2+(-1)^2}$

$|u|=\sqrt{1+9+1}$

$|u|=\sqrt{11}$

Con estos vectores la proyección ortogonal de PQ en PR es

$|po| = \frac{v.u}{|u|}$

$|po| = \frac{2}{\sqrt{11} }$

si lo que quieres es el vector proyección ortogonal tenemos la fórmula

$po_v=|po|*\frac{u}{|u|}$

$po_v=\frac{2}{\sqrt{11} }*\frac{(-1;3;-1)}{\sqrt{11} }$

$po_v=\frac{2}{11 }*(-1;3;-1)$

$po_v=(-\frac{2}{11 };\frac{6}{11 };-\frac{2}{11 })$

Answer 2

La proyección del vector PQ sobre el vector PR es:

$P_{PQ,PR}= (-\frac{2}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11})$

¿Qué es la proyección de un vector sobre otro?

Es la imagen de la magnitud de un vector sobre el otro. Se calcula la proyección mediante la siguiente fórmula:

$P_{u,v}=\frac{\bar{u}.\bar{v}}{[\bar{v}]^{2} } .\bar{v}$

¿Qué es un vector?

Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.

V = P₂ - P₁

o

V = |V| Cos(α)

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

El módulo es la raíz cuadrada de la suma de la diferencia del cuadrado de los puntos final e inicial.

| V | = √[(x₂ - x₁)²+(y₂ - y₁)²]

¿Cuál es la proyección ortogonal del vector PQ sobre el vector PR?

Construir los vectores;

PQ = Q - P

Sustituir;

PQ = (0-1; 1-0; 3-1)

PQ = (-1; 1; 2)

PR = R - P

Sustituir;

PR = (0-1; 3-0; 0-1)

PR = (-1; 3; -1)

Producto escalar:

PQ · PR = (-1)(-1) + (1)(3) + (2)(-1)

PQ · PR = 1 + 3 - 2

PQ · PR = 2

Módulo cuadrado del vector PR;

| PR |² = √[(-1)²+(3)²+(-1)²]²

| PR |² = (-1)²+(3)²+(-1)²

| PR |² = 1+9+1

| PR |² = 11

Siendo;

$P_{PQ,PR}=\frac{\bar{PQ}.\bar{PR}}{[\bar{PR}]^{2} } .\bar{PR}$

Sustituir;

$P_{PQ,PR}=\frac{2}{11} .(-1, 3, -1)\\\\P_{PQ,PR}= (-\frac{2}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11})$

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