Question

Una lamina metalica de 50 cm de longitud se cortara en dos piezas de longitudes x1 y x2 respectiva-

mente. Cada pieza se doblara y soldara para fabricar un molde para cortar galletas (por lo tanto no

se requiere base ni tapa). Uno de los moldes debe ser triangular y el otro circular. ¿De que longitud deben ser los segmentos x1 y x2 para que el area total encerrada por

ambos moldes sea maxima?

Answer 1

Respuesta:

los segmentos 1x y 2x deben ser de 25cm

Answer 2

Explicación paso a paso:

Por dato sabemos que x₁ + x₂ =50. Pero para no hacer excesivas operaciones reemplazamos x₁ por 3a y x₂ por 2$\pi$b.

Hacemos esto adrede para que el lado del triángulo sea a y el radio del círculo sea b

(Para simplificar el problema suponemos que es un triángulo regular)

Entonces las áreas serán:

• $\frac{\sqrt{3} }{4} a^{2}$  

• $\pi b^{2}$  

Se sabe: 3a+2$\pi$b=50, entonces b=$\frac{50-3a}{2\pi }$...(I) . Reemplazamos en la ecuación:

$\frac{\sqrt{3} }{4} a^{2}$  +$\pi b^{2}$ (nos piden el valor máximo de esta ecuación). Nos sale: $f(a)=\frac{\sqrt{3} }{4} a^{2} +\frac{(50-3a)^{2} }{4\pi }$

Usamos el teorema del valor máximo:

1. Encontramos los valores de la función en los números críticos de f. Se puede hallar derivando la ecuación. Al derivar resulta: $\frac{\sqrt{3} }{2} a-\frac{3}{2\pi } (50-3a)$   . Para hallar estos números igualamos a cero, por lo que sale a= 10.38 por lo tanto en (I) b=3.00

Entonces x₁=3*10.38=31.14 y x₂=2$\pi$*3=18.8

OBS: Si sumamos x₁ y x₂ nos da 49.94 un valor muy cercano a 50 porque son valores aproximados