Me pueden ayudar gon esto por favor. (Procedimiento)
Encuentra los puntos máximos y mínimos, y el punto de inflexión de la siguiente función:
FUNCIÓN y=x⁴
Respuestas
Respuesta:
A. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MAXIMOS Y M ´ ´INI-
MOS LOCALES.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funci´on y = f(x) se
obtienen a partir de la primera derivada de la funci´on por la siguiente re-
gla:
(a) f crece en un intervalo (a, b) si f
0
(x) > 0 para todo x en (a, b).
(b) f decrece en un intervalo (a, b) si f
0
(x) < 0 para todo x en (a, b).
Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada
son los m´aximos o m´ınimos, seg´un la derivada cambie de positiva a negativa
o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen:
(a) Un punto x0 del dominio de la funci´on corresponde a un m´aximo local o
relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f crece y otro intervalo
(x0, x0 + δ) en donde f decrece.
(b) Un punto x0 del dominio de la funci´on corresponde a un m´ınimo local o
relativo si existe un intervalo (x0 −δ, x0) en donde f decrece y otro intervalo
(x0, x0 + δ) en donde f crece.
Los m´aximos y m´ınimos locales se encuentran entre los llamados puntos
singulares o cr´ıticos, es decir, puntos del dominio de la funci´on en donde la
derivada se anula o no existe.
PROBLEMA 6.1.
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´on
f(x) = x(
√
x + 1).
Soluci´on
Calculamos la derivada de la funci´on:
f
0
(x) = √
x + 1 +
x
2
√
x
=
2x + 2√
x + x
2
√
x
=
3x + 2√
x
2
√
x
.
La derivada se anula cuando 3x + 2√
x = 0 y no existe cuando 2√
x = 0.
Despejamos x en ambas ecuaciones:
3x + 2√
x = 0 =⇒ 3x = −2
√
x =⇒ 9x
2 = 4x =⇒ x = 0 ´o x =
4
9
.
206
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Encuentra los puntos máximos y mínimos, y el punto de inflexión de la siguiente función:
FUNCIÓN y=x⁴