Question

u2 + v2 = 5 y u es el recíproco de v, entonces u4 + v4 es

Answer 1

Como u y v son recíprocos y se sabe que u² + v² = 5, entonces u⁴ + v⁴ =23

u² + v² = 5

Que dos números sean recíprocos significa que su multiplicación es igual a uno, es decir:

u*v = 1

u = 1/v

Sustituir u

(1/v)² + v² = 5

1/v² + v² = 5

Multiplicamos la expresión por V²

quedaria

1 + v⁴= 5v²

Acomodando la expresión

v⁴ - 5v² + 1 = 0

Hacer un cambio de variable

x = v²

Sustituir en la ecuacion

x² -5x + 1 = 0

Aplicar Resolvente

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

se tiene que

$x1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},\:x2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$

Despejar V de V = X²

Soluciones de V

$v1=\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}},\:v2=-\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}},\:v3=\sqrt{\frac{5-\sqrt{21}}{2}},\:v4=-\sqrt{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}$

Sustituir V en u*v = 1 y despejar u

Soluciones de U

$u1=\sqrt{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}, u2=-\sqrt{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}, u3=\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}},\: u4=-\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}$

Sustituir v1 y u1 en u⁴ + v⁴

Se obtiene que

u⁴ + v⁴ = 23