Question

Encuentra el área total acotada por la gráfica y=x^2+2x y el eje x sobre [−2,2]

Answer 1

Respuesta:

$\int\limits^{-2}_2 {x^2+2x} \, dx=\frac{16}{3}$

Explicación paso a paso:

$y=x^2+2x$

el área total de la función dada se puede calcular como la integral definida entre los puntos dados así:

$\int\limits^{-2}_2 {x^2+2x} \, dx$

esto se puede resolver usando la siguiente propiedad aplicada a cada uno de los términos de la función:

$\int\ {x^a} \, dx =\frac{x^{a+1}}{a+1}$

aplicando a los términos anteriores se tiene:

$\int\limits^{-2}_2 {x^2+2x} \, dx=\frac{x^{2+1}}{2+1} +\frac{2x^{1+1}}{1+1}$

resolviendo se tiene:

$\frac{x^{3}}{3} +\frac{2x^{2}}{2}$

simplificando nos da:

$\frac{x^{3}}{3} +x^2$

ahora, debemos evaluar la integral entre los puntos dados [-2,2]:

para el limite mayor x=2

$\frac{(2)^{3}}{3} +(2)^2$

$\frac{8}{3} +4$

$\frac{20}{3}$

ahora, calculamos x para el limite inferior x=-2

$\frac{(-2)^{3}}{3} +(-2)^2$

$\frac{-8}{3} +4$

$\frac{4}{3}$

el valor del limite superior y el limite inferior:

$\frac{20}{3}-\frac{4}{3}$

$\frac{16}{3}$