Question

dado un triángulo equilátero, cuyo perímetro es de 10 cm, se forma un segundo triángulo uniendo los puntos medios asimismo, se forma el tercer triángulo juntando los puntos medios del segundo, y asi sucesivamente determina la suma de todos los perímetros de los triángulos que se an formado hasta el sexto pasó
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Answer 1

Se trata de una sucesión geométrica, como son triángulos equiláteros, el perímetro de cada uno será la mitad del anterior. Al final queda:

$\mathtt{10+5+\frac{5}{2} +\frac{5}{4} +\frac{5}{8} +\frac{5}{16} }$

Luego usaremos la suma de términos en una S.G.

$\mathtt{S_n=\frac{a_n\times r-a_1}{r-1} ; r\neq 1 }$

$\mathtt{S_6=\frac{(\frac{5}{16} \times \frac{1}{2}) -10}{\frac{1}{2}-1 } =19.6875}$

....Rpta: 19.6875

Answer 2

El perímetro total de la sucesión geométrica de un triángulo equilátero  es de 19.6875 centímetros.

¿Cómo calcular el perímetro de un triángulo en una sucesión geométrica?

Si determinamos que cada lado del tríangulo es a, entonces su perímetro sera

P1 = a+a+a = 3a = 10

Como es un triángula equilatero y nos dicen que se forma un nuevo triángulo al unir sus puntos medios, el perimétro de este nuevo triángulo es por tanto $\frac{a}{2}$

Así el segundo perímetro es:

P2 = $\frac{a}{2}$ + $\frac{a}{2}$ +$\frac{a}{2}$ = $\frac{3a}{2}$

Si 3a = 10

P2 = $\frac{10}{2}$ = 5

Repetimos para el perímetro del siguiente triángulo

P3 = $\frac{3a}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Dado que es una sucesión geométrica de un triángulo equilátero,  el perímetro del siguiente triángulo será la mitad del anterior.

Así tenemos que:

• P1 = 10
• P2 = 5
• P3 = $\frac{5}{2}$
• P4 = $\frac{5}{4}$
• P5 = $\frac{5}{8}$
• P6 = $\frac{5}{16}$

Sumamos todos los perímetros y obtenemos 19.6875

o podemos usar la fórmula de suma en una progresión geométrica:

$Sn = \frac{an * r - a1}{r - 1}$

an = $\frac{5}{16}$

a1 = 10

r = razon geométrica = $\frac{1}{2}$

Sustituyendo tenemos que:

$S6 = \frac{\frac{5}{16} (\frac{1}{2} - 10) }{\frac{1}{2} - 1}$ = 19.68 centímetros

aquí otro ejemplo de sucesión geométrica

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