Question

Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x^{2} +y^{2} -2y que pasa por el punto P(1,1).

Answer 1

$x^{2} +y^{2}-2y=0\\ x^{2} +(y^{2}-2y+4)-4=0\\x^{2} +(y-2)^{2}=4$

El centro de la circinferencia es: C(h,k)=(0,2)

El radio de la circunferencia es: $r=\sqrt{4}=2$

Pasa por el punto P(1,1)

Como la recta es tangente a la circunferencia, diremos que las pendientes multiplicadas sera igual a 1, osea: $m_{1}.m_{2}=1$, donde m1 es la recta del centro C al punto P y m2 es la pendiente de la recta.

$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1-2}{1-0} =-1$

Entonces $-1.m_{2}=1$, $m_{2}=-1$

La ecuacion de la recta esta dada por: y=mx+b=-x+b

Como pasa por el punto (1,1) reemplazamos:

y=-x+b

1=-1+b

b=1+1=2

Por lo tanto, la ecuacion de la recta es: y=-x+2 o x+y-2=0