Question

Calcula la cantidad de hojalata que se necesitara para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm. De diámetro y 20 cm de altura

Answer 1

Se necesitarán aproximadamente 7,854 cm² de hojalata para hacer 10 botes.

¿Qué es un cilindro?

Un cilindro es un cuerpo geométrico que está conformado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Es decir un cilindro es una superficie cuádrica generada por el giro paralelo de una recta llamada generatriz alrededor de otra recta fija llamada eje de rotación, contenida en el mismo plano. La generatriz recorre una curva plana perpendicular al eje, denominada directriz.

A ello se lo denomina superficie cilíndrica de revolución.

Si la directriz es una circunferencia con centro en el eje, se forma una superficie cilíndrica circular.  

Clasificación de los cilindros

Existen diferentes tipos de cilindros según el ángulo y el eje que formen las bases.

Cilindro circular recto: El eje de rotación es perpendicular a las bases. Si las bases son círculos, se trata de un cilindro recto circular.

Cilindro oblicuo de base elíptica: El ángulo entre el eje y las bases no conforman un ángulo recto. La sección perpendicular al eje es un círculo y las bases son elipses.

Cilindro oblicuo de base circular: El ángulo entre el eje y las bases no conforman un ángulo recto. La sección perpendicular al eje es una elipse y las bases son círculos.    

Elementos de un cilindro

Bases: Son superficies planas, iguales y paralelas. Un cilindro tiene dos bases. En el caso de un cilindro recto son círculos perpendiculares al eje. Si se trata de un cilindro oblicuo las bases serán elipses o círculos de acuerdo a la clase de cilindro oblicuo que sea como lo hemos explicado antes.  

Superficie lateral: Es una cara lateral curva. Si el cilindro es recto su desarrollo es un rectángulo.

Eje: Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.

Altura: Es la distancia entre las dos bases.

Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra al cilindro. La generatriz del cilindro es igual a la altura.

Radio: Es la longitud desde el eje En un cilindro circular recto es el radio de sus bases.

CILINDRO CIRCULAR RECTO:

El cilindro circular recto es una figura tridimensional que se engendra cuando un segmento llamado generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje. El eje y la generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas.

¿Cómo es el desarrollo plano de un cilindro?

Un cilindro está formado por un rectángulo, que es la parte lateral del cilindro y por dos círculos, que son las dos bases del cilindro.

Área de un cilindro:

El área de un cilindro se halla sumando el área de la superficie cilíndrica o área lateral con las áreas de las dos bases. A esto se lo llama área total.

Área Total = Área Lateral + 2 Área Base

Área Lateral = 2 · π · r · h

Área Base = π · r²         ⇒ La cual se multiplica por dos porque un cilindro tiene dos bases.

Resumiendo,

$\boxed {\bold {Area\ {Lateral} = 2. \pi. r. h}}$

$\boxed {\bold {Area\ Base = \pi. r^{2} }}$

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = \ {\bold2 {\ Area \ Base} + \ Area {\ Lateral} }}}$

La expresamos así,

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = 2 \ . \pi \ . \ r \ .\ h + \ 2 \pi \ . r^{2} }}}$

ó

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = 2 \ . \pi \ . \ r \ \ . \ ( \ h \ + r) }}}$              

Nota: Este desarrollo sobre cilindros se acompaña de un gráfico para una mayor comprensión.  

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

Se desea calcular la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm

Datos:

• Bote de forma cilíndrica de 10 cm

• Diámetro = 10 cm

• Altura = 20 cm

Procedimiento:

Primero vamos a hallar el área de uno de los botes de hojalata

Esto lo haremos por medio de la fórmula general para calcular el área de un cilindro.

Precisamos conocer el radio del bote

Como sabemos su diámetro el radio equivale a la mitad de este,

diámetro = 10 cm        ⇒      radio = 5 cm

Empleamos la fórmula para hallar el área total de un cilindro,

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = 2 \ . \pi \ . \ r \ \ . \ ( \ h \ + r) }}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = 2 \ . \pi \ . \ 5 ' cm \ \ . \ ( \ 20 \ cm \ + 5\ cm) }}}$

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = \ 10 \ cm \ . \pi \ . \ 25\ cm }}}$

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = \ 250 \ cm \ . \pi \ }}}$

$\boxed {\bold {Area\ Total \ = \ 785,40 \ cm^{2} }}}$

El área de uno de los botes es de ≅ 785,40 cm²

Se requiere calcular la cantidad de hojalata necesaria para hacer 10 botes.

Para ello simplemente multiplicamos el área de un bote ,que hallamos en el paso anterior, por la cantidad requerida de botes que en este caso es 10.

$\boxed {\bold {Area\ de\ un \ bote \ = \ 785,40 \ cm^{2} }}}$

$\boxed {\bold {Area\ de\ diez \ botes \ = \ 785,40 \ cm^{2} \ . \ 10 }}}$

$\boxed {\bold {Area\ de\ diez \ botes \ = \ 7,854 \ cm^{2} }}}$

Se necesitarán ≅ 7,854 cm² de hojalata para hacer 10 botes.

Answer 2

Respuesta:

At = 2 · π · r · (h + r)

Pero primero tenemos que calcular el radio:

r = d: 2 = 10 : 2 = 5 cm

r = 5 cm

h = 20 cm

At = 2 · π · 5 · (20 + 5) = 10 · π · 25 = 250 · π = 785,40 cm² es el área de uno de los botes.

Como queremos hacer 10 botes:

785,40 x 10 = 7.854

RPTA.-Se necesitan 7.854 cm² de hojalata para hacer 10 botes.