Question

la profundidad del agua en el lugar favorito de Isaac para surfear varia de 5 a 15 pies, dependiendo del tiempo. El ultimo domingo la marea alta fue a las 5:00 am. Y la siguiente marea alta fue a las 6:30 pm. Con una función seno representar la profundidad del agua en función del tiempo t, en horas a partir de la medianoche del sábado (t=0)

Answer 1

La profundidad en función del tiempo es la siguiente función con 't' en horas: $y(t)=10+5.sen(\frac{4}{27}\pi.t-\frac{13}{54}\pi)$

Explicación paso a paso:

Si la profundidad del agua es una función seno, tenemos que hallar el período de la misma y la amplitud de esta.

Si la primera marea es a las 5 y la segunda a las 18:30, tenemos un período de 18,5-5=13,5h. Tomando como referencia de profundidad el fondo del mar, la función varía entre 5 y 15ft. La función queda como sigue:

$y(t)=m+A.sen(B.t+\phi)$

Con el dato del período, ya podemos hallar la constante B, sabiendo que en un lapso de 13,5 horas tiene que variar $2\pi$:

$B.13,5h=2\pi\\\\B=\frac{2\pi}{13,5h}=\frac{4}{27}\pi$

La profundidad máxima es m+A y la profundidad mínima es m-A por lo que queda:

m+A=15

m-A=5

Restando miembro a miembro:

2A=10=>A=5

Sumando miembro a miembro:

2m=20=>m=10

Ahora la profundidad máxima ocurre a las 5 horas:

$sen(\frac{4\pi}{27}t+\phi)=1\\\\\frac{4\pi}{27}t+\phi=\frac{\pi}{2}\\\\\phi=\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{27}.5=-\frac{40}{54}\pi$

Con esto armamos la función:

$y(t)=10+5.sen(\frac{4}{27}\pi.t-\frac{13}{54}\pi)$