Question

Hallar x en: 3^x + 9^x = 27^x

P.D.: La respuesta en logaritmo y con resolución.

Answer 1

Respuesta:

$x = \frac{log( \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}{log(3)}$

Explicación paso a paso:

$3^{x}+9^{x}=27^{x}$

$3^{x}+3^{2*x}=3^{3*x}$

$3^{x}+3^{x*(2)}=3^{x*(3)}$

Usamos un artilugio como el cambio de variables para poder resolverlo:

$3^{x} = u$

Entonces quedaría de la siguiente manera la ecuación:

$u+u^2 = u^3$

$0 = u^3 - u^2 - u$

$0 = u*(u^2 - u -1)$

De acá se deduce que "u" tiene dos soluciones:

• $u=0$

• $u^2 - u - 1 = 0$

Si analizamos la primera solución tendríamos:

$u=0$

$3^x = 0$ (esta ecuación no tiene solución real por lo cual se descarta ya que no hay ningún numero que al ser exponente de tres nos dé como resultado cero).

Ahora, analizamos la segunda solución:

Desarrollamos la segunda ecuación aplicando la fórmula cuadrática que nos dice:

$a*x^2 + b*x + c = 0$

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}$

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}$

donde:

a = 1 , b = -1, c = -1

Con lo cual las raíces de x:

$x_{1} = \frac{-(-1) - \sqrt{(-1)^2-4*(1)*(-1)}}{2*(1)}$

$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1+4}}{2}$

$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$x_{2} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^2-4*(1)*(-1)}}{2*(1)}$

$x_{2} = \frac{1 + \sqrt{1+4}}{2}$

$x_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Por último, analizamos cada raíz:

• Para x1:

$3^x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$x*log(3) = log( \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

$x = \frac{log( \frac{1 - \sqrt{5}}{2})}{log(3)}$  (este valor de "x" queda descartado pues no existe el logaritmo de un numero negativo, es decir no hay solución real)

• Para x2:

$3^x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$log(3^x) = log( \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

$x*log(3) = log( \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

$x = \frac{log( \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}{log(3)}$